Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница: 1. 2. 3. 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость: 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) сходится абсолютно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится абсолютно; 8) сходится абсолютно; 9) сходится условно; 10) сходится условно; 11) сходится условно; 12) сходится условно; 13) расходится; 14) сходится абсолютно.
Функциональные ряды.
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда Решение: Применим обобщенный радикальный признак Коши:
Что бы ряд сходился, получившийся предел должен быть меньше 1. Решив неравенство
Исследуем ряд при Таким образом, заданный ряд сходится при
Пример 2. Найти радиус сходимости степенного ряда
Решение: Найдем радиус сходимости по формуле Получаем, что ряд сходится в круге Если Если Таким образом ряд сходится при
Пример 3. Вычислить
Решение: Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении функции
Тогда Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов. Следовательно,
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение: Частное решение данного уравнения будем искать в виде степенного ряда Из начального условия:
Найдем вторую производную:
Найдем третью производную: Подставляем найденные значения в степенной ряд:
Получили приближенное частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
Составим таблицу значений полученного решения:
Построим график по найденным точкам:
Задачи для самостоятельного решения
Найти область сходимости данных рядов: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Разложить функцию 15. Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции Разложить функции в ряд Маклорена: 16. 17. 18. 19. Разложить функции в ряд Тейлора: 20. 21. 22. Вычислить приближенно: 23. 24. 25. 26. 27. 28.
Ответы: 1) расходится; 2) сходится абсолютно при 11) 15) 18) 21)
Ряды Фурье.
Пример 1. Разложить функцию Решение: Данная функция терпит разрыв 1 рода в точке Разложим функцию в ряд Фурье: Вычислим коэффициенты ряда. Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл:
Полученный ряд Фурье сходится во всех точках отрезка 1) самой функции 2) 3) Построим график суммы ряда
Пример 2. Разложить функцию Решение: Наша функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. В данной задаче период
где Вычислим коэффициенты Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу:
В точке
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|