 |
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
Исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница:
1. 
2. 
3. 
4. 
Исследовать на абсолютную и условную сходимость:
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
Ответы:
1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) сходится; 5) сходится абсолютно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится абсолютно; 8) сходится абсолютно; 9) сходится условно; 10) сходится условно; 11) сходится условно; 12) сходится условно; 13) расходится; 14) сходится абсолютно.
Функциональные ряды.
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда 
Решение:
Применим обобщенный радикальный признак Коши:
.
Что бы ряд сходился, получившийся предел должен быть меньше 1. Решив неравенство
получаем 
Исследуем ряд при 
Получим знакочередующийся ряд 
. Этот ряд по признаку Лейбница сходится условно.
Таким образом, заданный ряд сходится при 
.
Пример 2. Найти радиус сходимости степенного ряда 
Решение:
Найдем радиус сходимости по формуле 
.
Получаем, что ряд сходится в круге 
. Исследуем ряд на границе круга, то есть при 
.
Если 
имеем 
. Этот ряд расходится.
Если 
имеем 
Этот ряд сходится условно.
Таким образом ряд сходится при 
.
Пример 3. Вычислить 
с точностью до 0,001.
Решение:
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении функции 
на 
, получим:
.
Тогда
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютному значению меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов. Следовательно, 
.
Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения 
соответствующее начальным условиям 
, в виде степенного ряда, найдя первые четыре ненулевые члена разложения. Составить таблицу полученного решения с шагом 
на отрезке 
и построить его график. Вычисления вести с точностью до 
.
|
|
|
Решение:
Частное решение данного уравнения будем искать в виде степенного ряда
Из начального условия: 
. Найдем значения 
.
.
Найдем вторую производную:
.
Найдем третью производную:
Подставляем найденные значения в степенной ряд:
.
Получили приближенное частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
.
Составим таблицу значений полученного решения:
| 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | |
| 1,092 | 1,201 | 1,328 | 1,476 | 1,645 |
Построим график по найденным точкам:
Задачи для самостоятельного решения
Найти область сходимости данных рядов:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. Разложить функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки 
15. Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции 
в окрестности точки 
Разложить функции в ряд Маклорена:
16. 
;
17. 
;
18. 
;
19. 
.
Разложить функции в ряд Тейлора:
20. 
по степеням 
;
21. 
по степеням ;
22. 
по степеням 
.
Вычислить приближенно:
23. 
с точностью до 
24. 
с точностью до 
25. 
с точностью до 
26. 
с точностью до
27. 
, взять 3 члена разложения, указать погрешность
28. 
, взять 2 члена разложения, указать погрешность
Ответы:
1) расходится; 2) сходится абсолютно при 
; 3) сходится абсолютно при 
; 4) сходится при 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) ; 10) 
;
11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
; 17) 
;
18) 
; 19) 
; 20) 
;
21) 
; 22) 
; 23) 0,7788; 24) 0,17365; 25) 4,121; 26) 0,699; 27) 0,323, погрешность 0,0001; 28) 0,012, погрешность 0,001.
Ряды Фурье.
Пример 1. Разложить функцию 
в ряд Фурье и построить график суммы.
Решение:
Данная функция терпит разрыв 1 рода в точке 
. Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. В данной задаче период 
, а 
.
Разложим функцию в ряд Фурье:
Вычислим коэффициенты ряда. Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
|
|
|
1) Первый интеграл:
2) Второй интеграл:
3) Третий интеграл:
Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу:
.
Полученный ряд Фурье сходится во всех точках отрезка 
и его сумма 
равна:
1) самой функции 
в точках непрерывности функции,
2) 
в точке разрыва 
,
3) 
на концах отрезка
Построим график суммы ряда 
. На интервале 
строим прямую 
, а на интервале 
— прямую 
. В точке разрыва — 
, при 
— 
. И «продолжаем» график на всю числовую ось с периодом 
:
Пример 2.
Разложить функцию 
в ряд Фурье.
Решение:
Наша функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. В данной задаче период 
, а 
. Заметим, что функция является нечетной. Поэтому будем раскладывать ее в ряд по синусам:
,
где 
.
Вычислим коэффициенты
Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу:
.
В точке — 
, на концах отрезка — 
.
|
|
|
12 |
