 |
Теорема о связи Б.Б.Ф. и Б.М.Ф.
|
|
|
|
Теорема о пределе промеж. послед.
Если limn®¥xn=a, limn®¥zn=a и справедливо нер-во xn<=yn<=zn, то limn®¥yn=a.Д-во: дост. док-ть, что послед. {yn-a} явл. б.м. Обозначим через N номер, начиная с которого, вып. нер-ва из условия. Тогда начиная с этого номера, будут выполняться также нер-ва xn-a<=yn-a<=zn-a. Отсюда следует, что при n>N эл-ты послед. {yn-a} удовл. нер-ву: |yn-a| <= max{ |xn-a|, |zn-a| }
Св-ва сходящихся посл-тей
1.Теорема «Об единственности пределов»:
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.
2. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»
3. Теорема «Об арифметических дейсьвиях»:
а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b
б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b
в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0
4. Теорема «О сходимости монотон. посл-ти»
Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся,
т.е. имеет пределы.
#3 Предел функции: говорят что существует lim(x®a)f(x)=A Û когда существует окр-ть (e;A) такая что "окр-ти(d;A) $ окр-ть(0) (d;A) "xÎокр-ть(0) (d;A)Þf(x)Îокр-ть(e;A)
Предел ф-ции в точке Пусть ф-ция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Число А наз пределом ф-ции в точке x0, если для "e>0 найдется такое d>0, что для всех x¹x0, удовл. нер-ву
|x-x0|<d, вып. нер-во | f (x) - A|<e. lim x®x0 f (x) = A.
Предел ф-ции на бесконечности Пусть ф-ция y=f(x) определена в промежутке (-¥; ¥). Число А наз. пределом ф-ции f(x) при x®¥, если ("e>0 $М(e)>0, "x: |х|>М Þ |f(x) - А| < e) Û
limx®¥ f(x)=А.
Т-ма о пределе промеж. ф-ции
Пусть $ lim x®x0 j1 (x) =А, $ lim x®x0 j2 (x) =А(10), "x: j1 (x)<= j (x)<= j2 (x)(20), $ lim x®x0 j (x) =А.
Й замечательный предел
lim x®0 sin x/x =1
#4 Бесконечно малые функции
Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке
равен 0 из этого определения вытекает
следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение
|
|
|
б/м ф- ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-
цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0,
а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=>
j(х)a(х)®0 при х®х0
Теорема о связи Б.Б.Ф. и Б.М.Ф.
Если a(x)-бмф(a¹0), то ф-ция 1/a(x)-ббф и наоборот.
Д-во: пусть a(x) – бмф при x ® x0, т.е. limx®x0a(x)=0. Тогда
("e>0 $d>0 "x: 0< |x-x0| <d Þ |a(x)|< e),
т.е. |1/a(x)|>1/e(=М).
#6 Т. о втором замечательном пределе:
Явл. обобщением известного предела о посл-ти.
Справедливо сл. предельное соотношение:
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)
lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) =>
lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)
#7 Сравнение роста Б.м.: u(x),v(x)-б.м. при x®a lim(x®a)u(x)/v(x)(*)
(*)=0 u(x)-б.м. более высокого порядка чем v(x)
(*)=¥ - v(x)-б.м. более высокого порядка
(*)=const u(x) и v(x) – одного порядка малости
(*)=1 u(x)»v(x) x®a
Если $ m>0 что lim(x®a)u(x)/[v(x)]m=k u(x)-б.м. порядка m по сравнению с v(x)
Если (*) не сущ то u(x) и v(x) не сравнив
Эквивалентность бесконечно малых:
Если lim(x®a)a(x)/b(x)=1 то a(x)»b(x) x®a
Основные эквивалентности 1 зам. предела:
sinx»x tgx»x arcsinx»x arstgx»x 1-cosx»x2/2
Эквивалентность бесконечно больших:
lim(x®a)u(x)/v(x)=1 u(x)»v(x) x®a
Основные эквивалентности 2 зам. предела:
ex-1»x ax-1»xlna ln(1+x)»x (1+x)n-1»nx
#8 Т. о разности эквивалентных Б.м.:
Если a(x)»b(x); a(x),b(x)-б.м. при x®a то
a(x)-b(x) – б.м. более высокого порядка чем каждая из них
О разности экв б.м.(д-во):
Для того чтобы a(x)»b(x) необходимо и достаточно чтобы a-b=o~(a(x))
Д-во:
Необх: a(x)»b(x)Þlim(x®a)(a(x)/ b(x))=1Þa/b-1=g; g-б.м при x®aÞa-b=g*b- б.м. более высокого порядка.
Дост: a-b=o(b (x)); a/b-1=o(b)/b(перейдем к пределу) lim(x®a)[a(x)/ b(x)-1]= lim(x®a)[ o(b (x))/ b(x)]=0 по опр б.м. более высокого порядка.
Т. о замене эквивалентных в пределе отношения:
a(x)»a1(x); b(x)»b1(x)Þlim(x®a)a(x)/b(x)= lim(x®a)a1(x)/b1(x) при x®a
#9 Непрерывность ф-ции в точке
Пусть ф-ция y = f (x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. *Ф-ция y = f (x) наз. непрерывной в точке x0, если существует предел ф-ции в этой точке и он равен значению ф-ции в этой точке,т.е. limx®x0 f (x) = f (xo). Это рав. Озн. Вып-е 3-х усл.: 1)f(x) определена в точке x0 и в ее окрест. 2)f(x) имеет предел при x®x0 3)предел ф-ции в точке x0 равен знач. ф-ции в этой точке, т.е. вып. равенство limx®x0 f (x) = f (xo). Т.к. limx®x0x0 = x0, то limx®x0 f (x) = = f (limx®x0x)= f (x0). **Ф-ция y = f (x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и ее окрестности и вып. рав-во limDx®0Dy =0, т.е. беск. малому приращ. арг. соотв. беск. малое приращ. ф-ции.
|
|
|
#10 Непрерывность функции на отрезке: функция y=f(x) наз-ся непрерывной на [a,b] если она удовлетворяет определению непрерывности в каждой внутр точки этого отрезка внутри а также сущ lim(x®a+)f(x)=f(a) и
lim(x®b-)f(x)=f(b)
Связь диф с непрерывностью: если функция диф в т x0 то она непрерывна в этой точки.
Д-во: Ñf=AÑx+o~(Ñy); lim(Ñx®0) Ñf= lim(Ñx®0) (AÑx+o~(Ñx))=0 Ñf – БМ при Ñx®0!!!!Из диф следует непрерывность!
#11 Точки разрыва и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность ф-ции, наз. точками разрыва этой ф-ции. Если x=x0-точка разрыва ф-ции y=f(x), то в ней не выполняется хотя бы одно из условий 1-го определения непрер. ф-ции: 1) ф-ция опред. в окр. x0, но не опред. в самой x0. 2)ф-ция опред. в x0 и ее окр., но не сущ. предела f(x) при x®x0. 3)ф-ция опред. и $ limx®xo f (x), но limx®xo f (x)¹ f (x0). В точке разрыва 1-го рода x0 сущ. одностор. пределы, т.е. limx®x0-0f(x)=A1 limx®x0+0f(x)=A2 , при этом: а)А1=А2Þ x0 – точка устранимого разрыва.
б) А1¹А2Þ x0 – точка конечного разрыва. |А1-А2|- скачок ф-ции В точке разрыва 2-го рода x0 хотя бы один одностор. предел не сущ. или равен ¥. Класс.: Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва;точкир-рыва1-го,и 2-го рода. а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач.в др.т-ках,то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода.
в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода.
#12 Производная числа (x0) наз-ся число f’(x0)=lim(Ñx®0)(f(x0+Ñx)-f(x0))/ Ñx
|
|
|
Геометрический смысл: производная в точке равняется tg угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Механический смысл: S`(t)=v(t)
#13 Связь непрер-ности и дифференцируемости
Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она
непрерывна в этой т-ке, причем имеет место
разложения Df в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)=
f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)- б/м ф-ия при
Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3)
верно, что из него сразу следует что при Dх®0
Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому
осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из
определения (2) и связи предела с б/м =>, что $
б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx)
отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx.
Пример: Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т.е.
y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае
Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-
но это отношение равно 0,=>значит эго отн-ние=0.
# 16 Т.о производной сложной функции: пусть y=f(u(x))-сложная функция и пусть u(x) – диф в т x а f(u) – диф в т u тогда:
y=f(u(x)) – так же диф в т x а ее производная вычисляется по формуле: y’=f’u(u)*u’x(x)
Т. о производной обратной функции:
Пусть y=f(x) диф и монотонна на (a b). Пусть т x0Î(a b) и f’(x0)¹0. Тогда в т y0=f(x0) определена диф функция g(y) которую называют обратной к f(x) а ее производная вычисляется по формуле: (g(y))’=1/f’(x0)
#17 Дифференциал: диф. функции y=f(x) в данной т. x соответствующим приращением Dx называют главную относительную Dx часть приращения этой функции в т.x
Дифференциалом функции Z называется главная линейная часть приращения функции
Adx + Bdy = (Dz/Dx)dx + (Dz/Dy)dy Из условия дифф. Функции в Р0 следует сущ. касат.
плоскости к поверхности Z = f(x,y)
Геометрический смысл: приращение
кординаты касательной. Dy=f’(x0)dx; f’(x0)=tga
Инвариантность:
с=const dc=(c)’dx=0 2.U(x),V(x)Î D (x) d[au(x)+b(v(x)]= adu(x)+ bdv(x) 3.d(u(x)v(x))=v(x)au(x)+u(x)dv(x) 4.d(u/v)=[(vdu-udv)/v2]
#18 Теорема Ролля.
Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда $ т-ка сÎ(a,b), в которой f‘(c)=0. Геом. cмысл т Ролля: Если функция удв условиям теор. Ролля то сущ. Точка С на [a,b];касательная в этой точке параллельна оси X.
|
|
|
Теорема Ролля д-во: По св-у непрерывности функции max и min достигаются во внутр. точке отрезка.
#19 Теорема Лагранжа.
Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда $ т-ка cÎ(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c). Геом.смысл теоремы Лагранжа:Если F (x) удв. усл. т.Лагранжа то сущ.хоть 1 точка С такая что касательная в этой точке || стягивающей хорде. Теорема Лагранжа д-во: Построим q(x)=f(x)-hx и этот “h” введём так чтобы для q(x) выполнялось усл. Т.Ролля.
q(a)= q(b),f(a)-ha=f(b)-hb тогда f(b)-f(a) =h, т.к.
b-a
q(x) удв усл. Т. Ролля то найдётся точка
принадл. [a,b];q’ (c)=0. q’ (x)=f ‘ (x) – h.Тогда есть q’ (c)=f ‘ (c)-h=0,тоесть сущ. Т. С:f ‘ (c)=h
Тогда f (b)-f(a) =f ‘ (c)
b-a Теорема Коши.
Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на
(a,b). Пусть кроме того, g`(x)¹0. Тогда $ т-ка
сÎ(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-
f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c).
Теорема Коши д-во: построим вспомогат. Функцию q(x) = f(x)-hg(x) (q(x) удв. Теореме Ролля) q(a)=q(b);
f(a)-hg(a)=f(b)-hg(b) тоесть h(g(b)-g(a))=f(b)-f(a); подберём h так чтобы h= f(b)-f(a)
g(b)-g(a)
По теореме Ролля для q(x) следует что сущ. точка С на [a,b],q’(c)=0’;q’(x)=f ‘(x)-hg’(x)
Тоесть q’(c)=f ‘(c)-hg’(c)=0 следовательно f(b)-f(a) = f ‘ (c) g(b)-g(a) g ‘ (c)
#20 Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если
lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то
lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x),
когда предел $ конечный или бесконечный.
Раскрытие ¥/¥. Второе правило.
Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то
lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x).
Правила верны тогда, когда
x®¥, x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+.
Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0.
Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем
|
|
|
