Представление и обработка чисел в компьютере

Лекция № 2

Представление данных в компьютере. Кодирование данных двоичным кодом.. 1

Представление и обработка чисел в компьютере. 2

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.. 7

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.. 8

Представление данных в компьютере. Кодирование данных двоичным кодом

Для автоматизации работы с данными, относящимимся к различным типам, очень важно унифицироать их форму представления – для этого обычно используется прием кодирования, то есть выражение данных одного типа через данные другого типа. Например, естественный язык – это система кодирования понятий для выражения мыслей посредством речи. Проблема кодирования успешнореализуется в отдельных отраслях техники и науки. Примеры – система записи матеатических выражений, азбука Морзе, морская флажковая азбука, и др.

Своя система существует и в вычислительной технике – она называется двоичным кодом и основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков – 0 и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами, по английски binary digit, или bit (бит).

Одним битом могут быть выражены два понятия – 0 и 1 (да или нет, истина или ложь). А если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия:

00 01 10 11

Тремя – уже восемь различных значений:

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид:

N=2^m, где

N-количество кодируемых значений

m- разрядность двоичного кодирования (то есть сколько нулей и единиц используется для кодирования).

Представление и обработка чисел в компьютере

Представление данных в компьютере определяет не только способ их записи, но и допустимый набор операций над ними. Представление чисел имеет два важных отличия от известного из школы:

1. числа записываются в двоичной системе счисления

2. для записи и обработки чисел отводится конечное количество разрядов

 

Замечания относительно понятия ЧИСЛО. Оно имеет ЗНАЧЕНИЕ и ФОРМУ ПРЕСТАВЛЕНИЯ. Последняя определяет порядок записи числа с помощью предназначенных ля этого знаков. При этом ЗНАЧЕНИЕ является инвариантом, то есть не зависит от способа его представления. То есть отсутствует взаимно однозначное соответствие между представлением числа и его значением, всякое значение числа может быть записано по-разному. Поэтому вопрос- каковы формы представления чисел. и можно ли переходить от одной к другой.

 

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые базовые символы (цифры), и все числа получаются в результате строго определенных операций над ними. Число таких базовых символов называется основанием системы счисления.

Существует два известных типа систем счисления: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа.(значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, рав­ное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: 111111111111, где каждая «палочка» обозначена символом 1. Эта система неэффективна, так как фор­ма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, сим­волы алфавита которой и обозначаемое ими количество представ­лены в табл. 1.

Таблица 1

Римские цифры	I	V	X	L	С	О	м
Значение (обозначаемое количество)

 

Запись чисел в этой системе счисления осуществляется по сле­дующим правилам:

1)если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра
вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5 — 1=4, ХL: 10 < 50,
следовательно, 50 — 10 =40);

2)если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти
цифры складываются (VI: 5+1=6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX:
10+10 = 20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид МСМIХIV (М — 1000, СМ — 900, IX — 60, IV — 4), здесь «девять­сот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» — посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» — посредством вычитания из «пяти» «единицы».

В общем случае непозиционные системы счисления характери­зуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распро­страненные системы счисления относятся к разряду позиционных.

В настоящее время наиболее распространены позиционные системы счисления. Все обрабатываемые данные в персональных компьютерах представлены в виде кодов и чисел в позиционной системе счисления.

Конкретное значение числа в позиционной системе определяется не только самими его цифрами, но и местоположением каждой из цифр, т.е. цифры имеют разный вес в записи числа. Примером такой системы счисления является привычная нам десятичная система счисления. Эта система использует десять базовых символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления. Например, число 1909 можно представить в виде многочлена по степеням основания:

 

1*10³ + 9*10² + 010¹ + 9*10⁰

 

Основание системы счисления может быть отличным от 10. Запись произвольного числа X в системе счисления по основанию R имеет вид:

 

X = a_n*Rⁿ + a_n-1 *R^n-1 +... + a₁ *R¹ + a₀ *R⁰, а цифры a_i принадлежат 0,..., R-1.

 

В компьютерных науках используется несколько позиционных систем счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

 

· Двоичная система счисления

 

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутренне представление любой информации в компьютере является двоичным, то есть описываемым наборами только из двух знаков – 0 и 1. Цифра двоичной системы счисления хранится в элементарной ячейке памяти, называемой битом. Бит – это наименьшая единица измерения количества информации, известная в природе (да-нет).

Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов в памяти компьютера. Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все выключены" (00000000) до "все включены" (11111111). По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево, как это показано в таблице:

Номера битов:
Значения битов:

Двоичная система счисления является позиционной, а соответственно значение двоичного числа определяется позицией каждого бита. В общем виде число в двоичной системе счисления представляется в форме:

X = a_n*2ⁿ + a_n-1 *2^n-1 +... + a₁ *2¹ + a₀ *2⁰ a_i принадлежат 0,1

Двоичное число не ограничивается только восьмью битами. В зависимости от архитектуры компьютера, он оперируют 16-битными, 32-битными, 64-битными представлениями чисел.

Таблица сложения в двоичной системе счисления имеет вид:

	+		=
	+		=
	+		=
	+		=

При сложении осуществляется перенос избытка из одного столбца в другой.

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид:

	х		=
	х		=
	х		=
	х		=

Замечание: если справа приписать 0, то двоичное число удваивается.

· Восьмеричная система счисления

Для более удобного представления двоичных данных также используется система счисления с основанием восемь (восьмеричная система счисления). В восьмеричной системе счисления используется восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

 

Сложение в 8-ричной системе:

 

+
						И

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: