Полярная система координат

П. 4. 1. Системы координат

1) Декартова система координат. (см. стр.28-29 лекции 4)

Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая гео­метрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Существуют системы координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом. Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми.

Назовем декартовой (аффинной) системой координат пару, состоящую из фиксиро­ванной точки O и некоторого базиса. Соответственно трем пространствам получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости и в пространстве. Де­картовыми (аффинными) координатами произвольной точки M являются координаты вектора в заданном базисе.

С декартовой системой координат связаны следующие понятия:

- начало (системы) координат — точка O в составе декартовой системы координат;

- репер — базис в составе декартовой системы координат, для векторов которого выбира­ется общая точка приложения в начале координат;

- оси координат (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, зада­ющие направление на этих прямых. Оси имеют специальные названия (в порядке нумерации): ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат. Координаты точки именуются по осям: абс- абсцисса, ордината и аппликата. На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат.

- координатные плоскости — плоскости, определяемые парами векторов репера. По­нятие используется для декартовой системы координат в пространстве;

- радиус-вектор точки M — вектор , соединяющий начало координат O с этой точкой.

Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной системой ко­ординат.

Если репер декартовой системы координат является ортонормированным базисом, то та­кую систему координат называют декартовой прямоугольной системой координат, или просто прямоугольной системой координат, а декартовы координаты точки — ее прямоугольными координатами.

Далее будем использовать в основном прямоугольные системы координат, т.е. будем предпо­лагать, что репер представляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в (т.е. на плоскости) называют правым (левым), если первый его век­тор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки.

Итак, под системой координат подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под координатами точки — ее прямоугольные координаты. Для обо­значения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозна­чения типа O ijk, где O — начало системы координат, а i, j, k — ортонормированный репер (базис), или Oxyz, где указаны обозначения для координатных осей.

 

Полярная система координат

Пример. Найти полярные координаты точки М(-1, - ).

4.2. Преобразование прямоугольных координат (стр. 29-32)

Все прямоугольные системы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равно­правны, т.е. выбор одной из них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования координат точки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе.

Пусть O ijk — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О 'i'j'k' — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис. 4.1). Считаем, что известны координаты точки О'(; b₂; b₃) и векторов i ' = ; j ' = (а₁₂; а₂₂; а₃₂), k '= в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (x; y; z) в старой и координаты (х '; y'; z') в новой системах координат. Это значит, что выполняются два равенства = x' i' + y' j' + z' k',

= x i + y j + z k. (4.1)

 

 

Векторы и связаны соотношением = + , причем координаты вектора являются также координатами начала координат O^' новой системы координат относительно старой, т.е. = i + b₂ j + b₃ k. Поэтому = + = i + b₂ j + b₃ k + x ' i' + y' j' + z' k' =

= i + b₂ j + b₃ k + x ' + y' + z' =

= ( x ' + y' + z' + ) i + ( x ' + y' + z' + ) j +

+( x ' + y' + z' + ) k, (4.2) т.е. получено разложение вектора в репере старой системы координат. Оно должно совпа­дать с (4.1) в силу единственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений в (4.1) и (4.2), получаем

x = x ' + y' + z' + ,

y = x ' + y' + z' + ,

z = x ' + y' + z' + . (4.3)

Соотношения (4.3), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систему трех линейных уравнений относительно неизвестных x ', y', z'. Чтобы найти новые координаты x', y', z' по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых коорди­нат. Система (4.3) при любых x, y, z имеет единственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что выполнены равенства

= i'j'k'= 1,

так как векторы i', j', k' образуют правый ортонормированный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1.

Набор коэффициентов в системе (4.3) отражает положение репера новой системы коор­динат, а свободные члены b_l, b₂, b₃ характеризуют изменение начала координат.

Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобра­зования выглядят более просто:

x = x ' + b_l,

y = y' + ^{, (4.4)}

z = z' + .

Преобразование (4.4) называют параллельным переносом системы координат в про­странстве на вектор .Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе координат в пространстве. Пря­моугольная система координат на плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две координаты. Преобразование системы координат на плоскости описывается уравнениями:

x = a_ll x ' + a_l2y' + b_l,

y = x ' + y' + ,

где (a_li; a_2i), i = 1,2, — координаты векторов i', j' нового репера относительно старого (i, j); (b_l; b₂) — координаты точки O' начала новой системы координат в старой системе координат.

Преобразование параллельного переноса системы координат на плоскости вы­глядит так:

x = x' + b_l,

y =y'+ .

Если начала новой и старой систем координат на плоскости совпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:

x = a_ll x ' + a_l2y',

y = x ' + y'. (4.6)

Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некоторый угол вокруг общего начала систем координат, причем полагают, что > 0 ( < 0) при повороте против хода (по ходу) часовой стрелки. В этом случае преобразование (4.6) называют поворотом системы координат на плоскости на угол . Из рис.4.2 следует, что координаты векторов i^/ и j^/ нового репера относительно старого выражаются через угол поворота :

i^/ = (cos ; sin ), j^/ = (— sin ; cos ).

Зная координаты векторов нового репера относительно старого, мы можем записать урав­нения для поворота системы координат на плоскости:

х = х^/ cos - у^/sin φ

у = х^/ sin + у^/ cos . (4.7)

Если преобразование состоит в последовательном выполнении поворота и параллельного пере­носа, то оно имеет вид:

х = х ^/ cos - у^/ sin φ + b ₁

у = х^/ sin + у^/ cos + b₂.

Система (4.8) легко решается относительно х^/, у^/, и обратное преобразование координат, отра­жающее переход от новой системы координат к старой, будет иметь вид:

х ^/ = х cos + у sin + ,

у^/ = - х sin + у cos +

где = b₁ cos + b₂ sin , b'₂ = -b₁ sin + b₂ cos . Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол , но в противоположную сторону (на угол - в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор ).

Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на неко­торый угол можно совместить лишь векторы i и i ^/, но при этом векторы j и j^/ окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.

В первом случае два репера имеют одинаковую ориентацию, а во втором

- противоположную.

Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид:

(4.9)

Преобразование (4.9) называют поворотом системы координат в пространстве, ес­ли реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е. являются оба правыми или левыми. Как и в случае плоскости, это связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать с помощью поворотов. Например, можно сначала совместить векторы i и i' с помощью поворота старого репера вокруг вектора i x i', а затем выполнить второй поворот вокруг вектора i' для совмещения повернутого вектора j с вектором j '. При этом векторы k и k ' автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут проти­воположными для реперов противоположной ориентации. В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобразования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами i' и j').

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: