П.4.3. Основные приложения метода координат на плоскости

Эта формула известна из школы.

Замечание. Вывод этой формулы при помощи векторной алгебры – см. лекцию №4, стр.33.

 

Тогда, векторное уравнение можно записать в координатной форме:

Полученные формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при , то есть, если АМ=МВ, то формулы

4.3. Вычисление площадей и объемов

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется пло­щадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3;-1;2). Найти его площадь.

Для определения площади треугольника ABC найдем координаты векторов и : = (1 - 4; 2 - 4; 3 – 4) = (-3; -2; -1), = (3 - 4; -1 - 4;2 – 4) = (-1; -5; -2). Затем вычислим их векторное произведение:

х =

Модуль этого векторного произведения равен

. Следовательно, .

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить мо­дуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах . Таким образом, объем этой пирамиды равен V_SABC =

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3;2;-1), S(4; 1; 3).

Вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: ^- = (5 - 2; 5 - (-1); 4 – 1) = (3;6;3), = (3 - 2; 2 - (-1);-1 – 1) = (1;3; -2), = (4 - 2; 1 - (-1); 3 – 1) = (2;2;2), и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

,

 

Линии на плоскости

Одну и ту же линию на плоскости можно задать разными способами: 1) уравнением в прямоугольных координатах;

2) уравнением в полярных координатах;

3) параметрическими уравнениями;

4) векторным уравнением.

 

 

 

Векторное уравнение линии.

 

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти её уравнение.

Вторая: зная уравнение кривой, изучить её форму и свойства.

Примеры некоторых кривых.

1) Окружность.

Циклоида.

3)

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют разные виды её уравнений.

получим уравнение .

 

Теорема. Уравнение определяет прямую линию и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Следствие. Если прямая проходит через начало координат, то . Следовательно, уравнение этой прямой имеет вид: .

Если прямая параллельна оси Ох, то , . Уравнение прямой примет вид:

Если прямая параллельна оси Оу, то , не существует.

Уравнение прямой примет вид: , где а – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

Общее уравнение прямой

Определение. Нормальный вектор прямой – это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой, перпендикулярной данной.

Определение. Направляющий вектор прямой – это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой, или на параллельной ей прямой.

Из определения следует, что существует бесконечно много направляющих векторов заданной прямой. Все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны, т.е. если а – направляющий вектор, то а, где также является направляющим вектором.

Лемма. Любой нормальный вектор прямой перпендикулярен любому направляющему вектору этой прямой.

Теорема. Уравнение есть уравнение прямой линии, которое называется общим уравнением прямой, где - произвольные числа, причём , (т.е. не равны нулю одновременно).

Доказательство.

 

 

Следствия из теоремы.

1) Если прямая задана общим уравнением: , где , то вектор n является вектором нормали прямой.

2) В качестве направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением, можно взять любой вектор р, ортогональный n, например,

р .

3) Если известен направляющий вектор р , то в качестве вектора нормали можно взять вектор n .

4) Две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы (векторы нормали) ортогональны.

5) Если векторы нормали двух прямых коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают.

6) Расстояние от точки до прямой : , заданной общим уравнением, находится по формуле:

.

 

 

 

 

Замечание. Уравнение (10.7) часто называют каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки.

 

 

 

 

Параметрические уравнения прямой на плоскости состоят из двух уравнений: (*),

где - начальная точка, - ненулевой вектор.

Исключая параметр , получим каноническое уравнение прямой:

. (**)

Замечание.

1) Если - начальная точка, - произвольная точка,

- направляющий вектор, то уравнение (**) примет вид: - каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки , .

2) Параметрические уравнения (*) и каноническое уравнение (**) задают прямую, одним из направляющих векторов которой является вектор с координатами

 

 

 

Это уравнение называется уравнением прямой в полярных координатах.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: