 |
Синтез управления с заданной структурой и свойствами с проверкой условий разрешимости
|
|
|
|
Постановка задачи
Рассмотрим систему синтеза управлений, которые должны обеспечивать требуемое качество переходных процессов в системе параллельно работающих синхронных генераторов.
| (1) |
Здесь 
- угол поворота ротора i-го СГ относительно синхронной оси вращения,
- скольжение i-го СГ (угловая скорость вращения),
- механическая мощность, подводимая от i-го ТА,
- уставка регулятора i-го ТА,
- положение регулятора скорости i-го ТА,
- сигнал вторичного регулятора скорости,
- управляющее воздействие,
нелинейная функция 
характеризует мощность, генерируемую i-ым СГ,
а функция 
– мощность, передаваемую от i-го СГ к j-ому СГ,
-коэффициент демпфирования,
- постоянные инерции СГ, ТА, вторичного регулятора скорости соответственно,
- производная по времени.
Система децентрализованная. Необходимо синтезировать оптимальное управление.
Приведем систему к более наглядному виду.
 
| (2) |
Найдем матричные параметры А,В,С системы в пространстве состояний вида:
| (3) |
; 
;
;
;
; 
Декомпозиция системы на подсистемы. Проверка управляемости подсистемы
Проверим управляемость полученной системы с помощью теоремы Калмана – критерия управляемости.
Объект вполне управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости 
равен размерности вектора состояния x.
Для децентрализованной системы имеем:
,
где 
-медианная матрица.
Собственные числа матрицы 
:
В среде Matlab получим матрицу управляемости:
A_n=[0 1 0 0 0;-7.8 -0.168 30 0 0; 0 0 -0.9 0.6 0; 0 -0.016 0 -0.9 0.6;0 0 0 0 -0.9];
A_v=[0 1 0 0 0;-5.2 -0.112 45 0 0; 0 0 -0.6 0.9 0; 0 -0.016 0 -0.6 0.9;0 0 0 0 -0.6];
B=[0;0;0;0;0.75];
for i=1:1:5
for j=1:1:5
A_med(i,j)=[A_n(i,j)+A_v(i,j)]/2;
end; end
Sy=[B A_med*B A_med^2*B A_med^3*B A_med^4*B]
В среде Matlab проверим ранг матрицы управляемости
|
|
|
rang=rank(Sy)
Ранг матрицы управляемости равен 5, что свидетельствует об управляемости системы.
Синтез управления с заданной структурой и свойствами с проверкой условий разрешимости
Система имеет полностью децентрализованную по входам структуру, состоящую из N взаимодействующих подсистем:
(4)
где 
- вектор фазовых координат i -ой подсистемы; 
- вектор управляющих воздействий; 
- векторная функция, характеризующая влияние на i -ую подсистему всех остальных систем.
Требуется синтезировать управление в виде обратной связи
(5)
которое обеспечивает асимптотическую устойчивость системы и минимизирует функционал
(6)
- блочная матрица, элементы которой определяются в процессе синтеза.
Определение параметров управления, оптимизирующего данный функционал, требует решения уравнения Риккати
(7)
где 
Для построения децентрализованного управления и уменьшения вычислительных затрат при проектировании матрица Р должна иметь диагональную структуру. Выполним тождественные преобразования уравнения (7), которые приведут его к диагональной структуре решения. В силу представления матриц 
в виде суммы двух матриц 
и блочно-недиагональной 
уравнение (7) преобразуется к уравнению Риккати
(8)
и уравнению для взаимосвязей между подсистемами
(9)
Так как матрицы 
имеют блочно-диагональную структуру, то матрица 
будет иметь аналогичную структуру и уравнение (8) эквивалентно N «расщепленным» уравнениям Риккати меньшей размерности
(10)
а оптимальное стабилизирующее управление принимает искомую децентрализованную структуру
(11.а)
или
(11.б)
где 
- решение уравнения Риккати, которое соответствует i -ой подсистеме, 
Отрицательная обратная связь (11) является решением задачи линейно-квадратичной оптимизации функционала (6) при динамических ограничениях (4). Блочные элементы матрицы 
находятся из соотношения (9), которое может быть представлено в виде N уравнений:
|
|
|
(12)
Для интервальных матриц решим два уравнения Риккати (верхнее и нижнее):
Возьмём 
,матрицу 
как единичную.
Теперь необходимо найти матрицы 
из алгебраического уравнения Риккати.
Уравнения Риккати решим в Matlab:
A_n=[0 1 0 0 0;-7.8 -0.168 30 0 0; 0 0 -0.9 0.6 0; 0 -0.016 0 -0.9 0.6;0 0 0 0 -0.9];
A_v=[0 1 0 0 0;-5.2 -0.112 45 0 0; 0 0 -0.6 0.9 0; 0 -0.016 0 -0.6 0.9;0 0 0 0 -0.6];
B=[0;0;0;0;0.75];
Q=eye(5)
R=1
[K,P,Lam]=lqr(A_n,B,Q,R)
[K2,P2,Lam2]=lqr(A_v,B,Q,R)
Получили следующие параметры регулятора:
|
|
|
