 |
И переместительный (коммутативный) закон
|
|
|
|
А + В = В + А; АВ = ВА (40)
и, как следствие из определения, в алгебре логики А + А = А, а не два А, как в обычной алгебре (действительно, по смыслу сложения должно произойти событие А или А, то есть речь здесь только о событии А);
также в алгебре логики АА = А, а не А2, как в обычной алгебре (по смыслу умножения событий должно произойти событие А и событие А, то есть, действительно, речь опять только о событии А).
Для логического умножения и логического сложения выражения, в которые входят операции сложения и умножения, можно писать без скобок (вследствие сочетательного и переместительного законов). Связь через знак умножения считают более тесной, чем через знак сложения. Таким образом, в алгебре логики это правило такое же, как и в обычной алгебре. Следовательно, вместо (АВ) + С можно писать АВ + С.
Для алгебры логики действуют распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения
А(В + С) = (АВ) + (АС) (41)
и распределительный закон сложения относительно умножения
А + (ВС) = (А + В) (А + С), (42)
Который не имеет аналогии в обычной алгебре, так как там
а + bс ≠ (а + b) (a+ c).
Все три перечисленных закона симметричны, то есть из любого закона для сложения (умножения) можно получить путём замены знаков сложения знаками умножения и знаков умножения знаками сложения соответствующий закон для умножения (сложения).
Например, для выражения А(В + С) = (АВ) + (ВС) после замены знаковполучим А + (ВС) = (А + В)(А + С).
В алгебре логики действует также закон инверсий (двойственности), по которому можно заменять отрицание сложения умножением отрицаний и отрицание умножения сложением отрицаний:
(А ̃̃ + ̃̃ В ̃ ) = А ̃ В ̃; А ̃̃ В ̃ = А ̃ + В ̃. (43)
|
|
|
Так как отрицание отрицания события есть само событие, то есть А = А, то с учётом закона инверсии ___
АВ = (А̃ + В̃); А + В = (А̃В̃). (44)
На основании последних зависимостей формируется теорема де Моргана, по которой для любой функции алгебры логики может быть получено отрицание этой функции, для чего события должны быть заменены их отрицаниями, а знаки логического сложения знаками логического умножения и наоборот.
Например, для функции
S = AB +А̃ ̃BC + BC̃ + B̃C̃D̃
в соответствии с теоремой
S̃ = (A + B̃) (A + B̃ + C̃) (B̃ + C) (B + C + D).
Используя указанные четыре закона, можно также определить следующие отношения, позволяющие упрощать функции алгебры логики:
(АВ) + А = А; А(В + А) = А; (45)
(АВ) + (АВ̃) = АВ +АВ̃ = А(В + В̃) =А•1 = А;
} (46)
(АВ) + (АВ) = АВ + АВ = В (А + А) = В•1 = В;
А(А + В) = (АА ) + (АВ) = 0 + АВ = АВ;
} (47)
А + (АВ) = (А + А ) ∙ (А + В) = 1•(А + В) = А + В.
4.2.3.Определение безотказности системы с помощью логических схем.
Функции алгебры логики могут быть записаны в строку, в виде схемы, или в виде логических матриц. В логической матрице логические умножения расположены в строке, а логические сложения – в столбце. К логическим матрицам применимы преобразования алгебры логики.
С помощью уравнений алгебры логики можно описать условия работоспособности (или отказа) технического устройства любой сложности.
При записи функции алгебры логики в виде схемы ФАЛ принцип построения схемы такой же, что и схемы последовательно –параллельной структуры, при этом последовательному соединению соответствует логическое умножение событий, а параллельному – логическое сложение событий.
Последовательные соединения формируют горизонтальные связи, а параллельные - вертикальные. Например, для функции алгебры логики, записанной в строку S = AC + BC + DE, схема ФАЛ имеет вид, представленный на рис. 4,
|
|
|
S–––|→A–––––––C
|
|→B–––––––C
|
|→D–––––––E
Рис.4. Схема ФАЛ
А логическая матрица имеет вид
AC
S = │ BC │∙
DE
Последовательность расчёта безотказности с использованием функций алгебры логики аналогична последовательности расчёта с использованием последовательно-параллельного соединения. При этом на основании сформулированных условий работы обычно строят схему ФАЛ или логическую матрицу, составляют уравнение алгебры логики (уравнение событий безотказной работы системы) и затем - расчётное вероятностное уравнение.
При переходе от уравнения событий к вероятностному уравнению необходимо соблюдать правила определения вероятностей произведения и суммы событий, учитывая, что эти события могут быть зависимыми и независимыми, совместными и несовместными.
Правило умножения вероятностей событий имеет вид:
для зависимых событий
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) Р(А2/А1) Р(А3/ А1А2)…Р(Аn/А1А2…Аn-1), (48)
где
Р(Аn/А1А2…Аn-1) – условная вероятность появления события Аn, определённая при условии, что произошли события А1, А2,…, Аn-1;
для независимых событий
P(А1А2…Аn)= Р(А1) Р(А2)…Р(Аn). (49)
Правило сложения вероятностей событий имеет вид:
для несовместных событий
Р(А1 + А2 + …+ А n) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р (АN); (50)
для двух совместных независимых событий
Р(А1 +А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1) Р(А2) (51)
для двух совместных зависимых событий
Р(А1 +А2) = Р(А1) + Р(А2 – Р(А1) Р(А2 /А1); (52)
для трёх совместных независимых событий
Р(А1 + А2 + А3) = Р(А1)+ Р(А2) + Р(А3) – Р(А1 А2) – Р(А1 А3) – Р(А2 А3) + +Р(А1 А2 А3). (53)
Таким образом, вероятность произведения независимых событий и вероятность суммы несовместных событий определить легко. Этим можно воспользоваться, например, при сложении совместных событий: чтобы не производить громоздких вычислений, лучше перейти к противоположному событию
Р(А1 + А2 + …+Аn) = 1 – Р(А1 А2 …Аn).
Независимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А)и Р(В) всегда совместны. Однако, совместность событий не обязательно влечёт за собой их независимость.
Зависимые события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) могут быть как совместными, так и несовместными. Несовместные события А и В при ненулевых вероятностях Р(А) и Р(В) всегда зависимы.
|
|
|
При составлении функций алгебры логики для оценки безотказности систем можно применять два метода.
Первый метод состоит в определении всех возможных минимальных условий по безотказности элементов, которые обеспечивают работоспособное состояние системы.
Второй метод состоит в рассмотрении всех возможных несовместных работоспособных состояний системы.
Первый метод, как правило, короче, но в этом случае требуется учитывать совместность событий работоспособных состояний системы. Второй метод более громоздкий, но практически безошибочен.
Различие методов видно на следующем примере. Из анализа функционирования системы (рис. 5) определены условия её работоспособности: работоспособность сохраняется при сохранении работоспособности любых двух элементов системы.
|––––––––––|––––––––––|
А В С
|––––––––––|––––––––––|
Рис.5. Принципиальная схема системы
Воспользуемся первым методом составления функции алгебры логики
или логической матрицы. Логическая матрица представлена на рис.6.
AB
S = │ ВC │
AC
Рис.6. Логическая матрица для первого метода расчёта
Уравнение событий имеет вид S = АВ + ВС + АС.
Вероятность безотказной работы системы
Р(S) = Р(АВ) + Р(ВС + АС) – Р[ АВ(ВС + АС)] =
= Р(А) Р(В) + Р(В)Р(С) + Р(А)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) – Р(А)Р(В)Р(С) =
= Р(А) Р(В) + Р(В) Р(С) + Р(А) Р(С) – 2Р(А) Р(В) Р(С).
Если Р(А) = Р(В) = Р(С) = р, то Р(S) = 3р2 - 2р3.
Воспользуемся вторым методом. Логическая матрица представлена на рис.7.
ABС
S = │ ABC │
ABС
АBС
Рис.7. Логическая матрица для второго метода расчёта
Уравнение событий S = АВС + АВС + АВС + АВС .
Вероятность безотказной работы системы
Р(S) = Р(АВС)+ Р(АВС)+ Р(АВС) + Р(АВС)= Р(А) Р(В) Р(С) +Р(А )Р(В)Р(С) +
+ Р(А)Р(В )Р(С) + Р(А) Р(В) Р(С ).
Если Р(А) = Р(В) = Р(С), то Р(А ) = Р(В ) = Р(С ) = q, так как если А, В, С – события, заключающиеся в том, что эти элементы системы работоспособны, то
А , В , С – события, заключающиеся в том, что произошёл отказ соответствующего элемента. Поскольку каждый элемент рассматривается только в двух возможных состояниях, то Р(А) + Р(А ) = p + q = 1.
|
|
|
При втором методе окончательно результат выражается в виде Р(S) = p3 + 3p2q.
Так как в большинстве случаев перебор вариантов работоспособных состояний в системах транспортных машин не очень велик, то рекомендуется применять второй метод.
|
|
|
