Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Числовые характеристики случайных величин.

(А.Н.Ремизов, 1987, стр.34-37, А.Н.Ремизов, 1999, стр.27-30, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 353).

Во многих случаях наряду с распределение случайной величины или вместо него информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых характеристик случайной величины. Наиболее употребительные из них:

1. Математическое ожидание - (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

М(Х) = x₁ ´ р₁ + x₂ ´ р₂ + x₃ ´ р₃ + ¼ + x_n ´ р_n= å x_i ´ р_i

2. Дисперсия случайной величины:

D(X)= å(M(X) - x_i)² ´ р_i

3. Среднее квадратическое отклонение:

s = Ö D(X)

Правило “ТРЕХ СИГМ ” - если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения M(X)±3s

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

(А.Н.Ремизов, 1987,стр.37-40, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 348).

Наиболее часто встречаются величины, распределенные по нормальному закону (закон Гаусса). Г л а в н а я о с о б е н н о с т ь - он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Случайная величина распределена по нормальному закону, если плотность вероятности ее имеет вид:

где

M(X) - математическое ожидание случайной величины;

s - среднее квадратическое отклонение.

График плотности вероятности нормально распределённой величины

Плотность вероятности (функция распределения) показывает, как меняется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, в зависимости от значения самой величины:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(А.Н.Ремизов, 1987,стр.44-48, А.Н.Ремизов, 1999,стр.37-42, Н.Л.Лобоцкая,1978, стр. 363-371).

Математическая статистика - раздел прикладной математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Основное отличие математической статистики от теории вероятностей состоит в том, что в математической статистике рассматриваются не действия над законами распределения и числовыми характеристиками случайных величин, а приближенные методы отыскания этих законов и числовых характеристик по результатам экспериментов.

Основными понятиями математической статистики являются:

1. Генеральная совокупность;

2. выборка;

3. вариационный ряд;

4. полигон частот;

5. гистограмма.

Генеральная совокупность - большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования

(П р и м е р: все население области, студенты вузов данного города и т.д.)

Выборка (выборочная совокупность) - множество объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Вариационный ряд - статистическое распределение, состоящее из вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот.

П р и м е р:

X,кг

x - значение случайной величины (масса девочек в возрасте 10 лет);

m - частота встречаемости.

Используют дискретное (точечное) статистическое распределение и непрерывное (интервальное) статистическое распределение.

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона частот или - гистограммы.

Полигон частот - ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁,m₁), (x₂,m₂),..., или для полигона относительных частот – с координатами (x₁,р^*₁), (x₂,р^*₂),...(Рис.1).

m m_i/n f(x)

x x

Рис.1 Рис.2

Гистограмма частот - совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии (Рис.2), основания прямоугольников одинаковы и равны dx, а высоты равны отношению частоты к dx, или р^* к dx (плотность вероятности).