Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

В MATLAB не принято делить числа на целые и дробные, короткие и длинные и так далее, как это принято в большинстве языков программирования, хотя задавать числа в таких формах можно.

Операции над числами выполняются всегда в формате с двойной точностью. Такой формат удовлетворяет подавляющему большинству требований к численным расчётам, но совершенно не подходит для символьных вычислений с произвольной (абсолютной) точностью. Символьные вычисления MATLAB может выполнять с помощью специального пакета расширения Symbolic Math Toolbox.

7. Константы и системные переменные

Константа – это предварительно определённое числовое или символьное значение, представленное уникальным именем. Числа (например, 1, -2 и 1.23) являются безымянными числовыми константами.

Другие виды констант в MATLAB принято называть системными переменными, поскольку, с одной стороны, они задаются системой при её загрузке, а с другой — могут переопределяться.

7.1. Основные системные переменные, применяемые в системе MATLAB

– i или j – мнимая единица (корень квадратный из -1);

– pi -число π = 3.1415926...;

– eps – погрешность для операций над числами с плавающей точкой (2-52);

– realmin – наименьшее число с плавающей точкой (2 ^-1022);

– realmax – наибольшее число с плавающей точкой (2¹⁰²³);

– inf – значение машинной бесконечности;

– ans – переменная, хранящая результат последней операции и обычно вызывающая его отображение на экране дисплея;

– NaN – указание на нечисловой характер данных (Not-a-Number).

Вот примеры применения системных переменных:

>> 2 * pi

ans =

6.2832

>> eps

ans =

2.2204 е - 016

>> realmin

ans =

2.2251e - 308

>> realmax

ans =

1.7977 e + 308

>> 1 / 0

Warning: Divide by zero,

ans =

Inf

>> 0 / 0

Warning: Divide by zero,

ans =

NaN

7.1.1. Основные положения для системных переменных

Ø как отмечалось, системные переменные могут переопределяться. Можно задать системной переменной eps иное значение, например eps = 0.0001;

Ø однако важно то, что их значения по умолчанию задаются сразу после загрузки системы;

Ø поэтому неопределёнными, в отличие от обычных переменных, системные переменные не могут быть никогда.

7.2. Символьная константа

Символьная константа – это цепочка символов, заключённых в апострофы, например:

' Hellо my friend! '

' Привет '

' 2 + 3 '

Если в апострофы помещено математическое выражение, то оно не вычисляется и рассматривается просто как цепочка символов. Так что ' 2 + 3 ' не будет возвращать число 5.

Однако с помощью специальных функций преобразования символьные выражения могут быть преобразованы в вычисляемые. Соответствующие функции преобразования будут рассмотрены в дальнейшем. Символьные вычисления MATLAB может выполнять с помощью специального пакета расширения Symbolic Math Toolbox.

8. Текстовые комментарии

Поскольку MATLAB используется для достаточно сложных вычислений, важное значение имеет наглядность их описания. Она достигается, в частности, с помощью текстовых комментариев. Текстовые комментарии вводятся с помощью символа % в начале строки:

% Комментарий

9. Переменные и присваивание им значений

Переменные – это имеющие имена объекты, способные хранить некоторые данные. В зависимости от этих данных переменные могут быть

– числовыми или символьными;

– векторными или матричными.

В системе MATLAB можно задавать переменным определённые значения. Для этого используется операция присваивания, вводимая знаком равенства:

Имя переменной = Выражение

Типы переменных заранее не декларируются. Они определяются выражением, значение которого присваивается переменной. Так, если это выражение – вектор или матрица, то переменная будет векторной или матричной.

9.1. Имя переменной (идентификатор)

Ø может содержать сколько угодно символов, но запоминается и идентифицируется только 31 начальный символ.

Ø имя любой переменной не должно совпадать с именами других переменных, функций и процедур системы, то есть оно должно быть уникальным.

Ø имя должно начинаться с буквы, может содержать буквы, цифры и символ подчёркивания _ недопустимо включать в имена переменных пробелы и специальные знаки, например +, -, *, / и т. д., поскольку в этом случае правильная интерпретация выражений становится невозможной.

Ø желательно использовать для обозначений переменных содержательные имена, например speed_l для переменной, обозначающей скорость первого объекта.

Ø переменные могут быть обычными и индексированными, то есть элементами векторов или матриц;

Ø могут использоваться и символьные переменные, причём символьные значения заключаются в апострофы, например s='Demo'.

9.2. Уничтожение определений переменных

Как мы уже рассматривали, в памяти компьютера переменные занимают определённое место, называемое рабочим пространством (workspace). Для очистки рабочего пространства используется функция clear в разных формах, например:

– clear – уничтожение определений всех переменных;

– clear х – уничтожение определения переменной х;

– clear a, b, с – уничтожение определений нескольких переменных.

Уничтоженная (стёртая в рабочем пространстве) переменная становится неопределённой. Использовать такие переменные нельзя, и такие попытки будут сопровождаться выдачей сообщений об ошибке.

10. Операторы и функции

Оператор – это специальное обозначение для определённой операции над данными – операндами. Например, простейшими арифметическими операторами являются знаки суммы (+), вычитания (–), умножения (*) и деления (/).

Операторы используются совместно с операндами. Например, в выражении 2+3 знак + является оператором сложения, а числа 2 и 3 – операндами.

Следует отметить, что большинство операторов относится к матричным операциям, что может служить причиной серьёзных недоразумений.

Например, операторы умножения (*) деления (/)ивозведения в степень(^) вычисляют произведение, частное от деления и возведение в степень двух массивов, векторов или матриц. Есть ряд специальных операторов, например оператор (\) означает деление справа налево, а операторы (.*) (./)и(.^) означают почленное умножение, деление и возведение в степень массивов.

Следующие примеры поясняют сказанное на примере операций с векторами:

>> V1 = [2 4 6 8]

V1 =

2 4 6 8

>> V2 = [l 2 3 4]

V2 =

1 2 3 4

>> V1 / V2

Ans =

>> V1.* V2

ans =

2 8 18 32

10.1. Арифметические операторы и функции

Арифметические операторы являются самыми распространёнными и известными. В отличие от большинства языков программирования, в системе MATLAB практически все операторы являются матричными, то есть, предназначены для выполнения операций над матрицами. В табл. 1 приводится список арифметических операторов и синтаксис их применения.

Таблица 1

Функция	Название	Оператор	Синтаксис
plus	Плюс	+	M1 + M2
unplus	Унарный плюс	+	+ M
minus	Минус	--	M1 - M2
unminus	Унарный минус	-	- M2
mtimes	Матричное умножение	*	M1 * M2
times	Почленное умножение массивов	.*	A1.* A2
mpower	Возведение матрицы в степень	^	M1 ^ x
power	Почленное возведение матрицы в степень	.^	A1. ^x
mldivide	Обратное (справа налево) деление матриц	\	M1 \ M2
mrdivide	Деление матриц слева направо	/	M1 / M2
idivide	Почленное деление массивов справа налево	.\	A1. \ A2
rdivide	Почленное деление массивов слева направо	./	A1. / A2
kron	Тензорное умножение Кронекера	kron	kron (X, Y)

10.2. Элементарные встроенные функции

В тригонометрических функциях углы измеряются в радианах. Все функции могут использоваться в конструкции вида y = func(x), где func – имя функции. Обычно в такой форме задаётся информация о функции в системе MATLAB. Мы, однако, будем использовать для функций, возвращающих одиночный результат, более простую форму func(x). Форма [y,z,...] = func(x,...) будет использоваться только в тех случаях, когда функция возвращает множественный результат.

10.3. Алгебраические и арифметические встроенные функции

Ø abs (X) возвращает абсолютную величину для каждого числового элемента вектора X. Если X содержит комплексные числа, abs (X) вычисляет модуль каждого числа. Примеры:

>> abs (-5)

ans =

>> abs ([l - 2i 3i 2 + 3i)

ans =

2.2361 3.0000 3.6056

Ø ехр (Х) возвращает экспоненту для каждого элемента X.

>> ехр ([1 2 3])

ans =

2.7183 7.3891 20.0855

Ø factor (n) возвращает вектор-строку, содержащую простые множители числа n. Для массивов эта функция неприменима. Пример:

>> f = factor (5)

f =

Ø sqrt (x)- вычисление квадратного корня из элементов массива х. Для отрицательных и комплексных элементов x функция принимает комплексные значения.

> sqrt (25)

ans =

>> sqrt (-25)

ans =

0 + 5.0000i

Вычисление логарифмов

1) log (x) - натуральный логарифм,

2) log2 (x) -возвращает логарифм по основанию 2 элементов массива х.

3) log10 (x) - по основанию 10

Примеры:

>> x = [1. 2 3. 34 5 2. 3]

x =

1. 2000 3. 3400 5. 0000 2. 3000

>> log (x)

ans =

0. 1823 1. 2060 1. 6094 0. 8329

>> log 10 (x)

ans =

0. 0792 0. 5237 0. 6990 0. 3617

>> log 2 (x)

ans =

0. 2630 1. 7398 2. 3219 1.2016

10.4. Тригонометрические и обратные встроенные функции

Для тригонометрических функций sin (x), asin (x), cos (x), acos (x), tan (x), atan (x), cot (x) возвращается значение функции для каждого элемента Х (если задан вектор).

Примеры:

>> x = [1 3 5 2.3]

x =

1. 0000 3. 0000 5. 0000 2. 3000

>> cos (x)

ans =

0. 5403 -0. 9900 0. 2837 -0. 6663

10.5. Примеры записи математических выражений

При записи на языке программирования любое математическое выражение должно быть " вытянуто в одну строчку ", а приоритет операций регулируют скобки. Рассмотрим в табл. 2 несколько примеров записи выражений.

Таблица 2

11. Функции комплексного аргумента

Числа могут быть комплексными: Z = a + b * i. Такие числа содержат действительную Re(z) и мнимую Im(z) части. Мнимая часть имеет множитель i или j, означающей корень квадратный

из -1:

3 i

2 j

2 + 3 i

-3. 14 i

-123. 456 + 2.7 e -3i

Ниже даны простейшие примеры работы с комплексными числами:

>> i

ans =

0 + 1. 0000i

>> z = 2 + 3i

z =

2. 0000 + 3. 0000 i

>> abs (z)

ans =

3. 6056

>> real (z)

ans =

>> imag (z)

ans =

>> angle (z)

ans =

0. 9828

Для работы с комплексными числами и данными в MATLAB используются следующие встроенные функции.

Ø imag (Z) возвращает мнимые части всех элементов массива Z. Пример:

» Z = [l + i, 3 + 2i, 2 + 3i];

» imag (Z)

ans =

1 2 3

Ø real (Z) возвращает вещественные части всех элементов комплексного массива Z. Пример:

» Z = [l + i, 3 + 2i, 2 + 3i];

» real (Z)

ans =

1 3 2

Ø conj (Z) возвращает число, комплексно-сопряжённое аргументу Z. Если Z комплексное, то conj (Z) = real (Z) - i * imag (Z);

» conj (2 + 3i)

ans =

2.0000 - 3.0000i

Ø abs(z) служит для получения модуля комплексного числа;

» Z = 3 + i * 2

Z =

3.0000 + 2.0000i

» R = abs (Z)

R =

3. 6056

Ø angle (Z) служит для получения аргумента комплексного числа, углы лежат в диапазоне

[- π; + π], в радианах;

» theta = angle (Z)

theta =

0. 5880

– Формула Z = R.* exp (i * theta) даёт переход от показательной формы представления комплексного числа к алгебраической;

» Z = R.* exp (i * theta)

Z =

3. 0000 + 2. 0000 i

11.1. Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами

Программа MATLAB позволяет легко решать системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Предположим, что дана система линейных уравнений:

Требуется найти токи I1 и I2. Для решения системы используется матрица коэффициентов R и матрица свободных членов F. Решение находится в виде произведения обратной матрицы коэффициентов на матрицу свободных членов:

F R W ⋅ − = 1

Ниже (рис. 9) приведён фрагмент программы MATLAB, который показывает порядок решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Таким образом, ток I1 = – 0. 0041 – 0. 0150i, а ток I2 = – 0. 0196 – 0. 0233i.

Рис. 9. Фрагмент программы MATLAB

12. Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x ₀ – её точное значение

Абсолютной погрешностью величины называется разность Δx = |x – x₀|.

Пример. В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:

Пример

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет

Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %.

При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела.

ρ=m/V

Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность, вычисленная по этой формуле будет иметь погрешность.

Существуют несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: Δ(x + y) = Δx + Δy.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: Δ(x – y) = Δx + Δy.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей: ε(xy)≈ε(x)+ε(y), в частности ε(x/y)≈ε(x)+ε(y)

Пример 12.1.

Определить, какое равенство точнее: 911 = 0,818; 18 = 4,24;.

Решение.

Найдём значения данных выражений с большим числом десятичных знаков. Для этого выполним следующие действия:

>> format long % длинное представление числа (15 знаков)

>> a1=9/11

a1 =

0.81818181818182

>> a2=sqrt(18)

a2 =

4.24264068711928

Затем вычислим предельные абсолютные погрешности:

>> abs(a1-0.818)

ans =

E-004

>> abs(a2-4.24)

ans =

0.00264068711928

Округлим их с избытком:

Вычислим предельные относительные погрешности:

>> 0.00019/0.818

ans =

E-004

>> 0.0027/4.24

ans =

E-004

Таким образом,

Так как , то равенство 9/11 = 0,818 является более точным.

Пример 12.2.

Округлить сомнительные цифры числа a, оставив верные знаки:

Решение.

Пусть а = 2,3544; δа = 0,2%; тогда Δа = а· δа = 0,00471. В данном числе верными являются три цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти цифры:

а = 2,3544; Δа₁ = Δа+ Δ_окр= 0,0044+0,00471=0,00911<0,01

Значит, и в округлённом числе 2,35 все три цифры верны.

Пример 12.3.

Найти предельную абсолютную и относительную погрешности числа 12,384, если оно имеет только верные цифры.

Решение.

Так как все пять цифр числа а=12,384 верны, то

Пример 12.4.

Вычислить и определить погрешности результата ,

где n = 3,0567(±0,0001), m = 5,72(±0,02).

Решение.

Имеем:

Ответ:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие окна имеет интерфейс MATLAB, их назначение?

2. Какова структура окна Command Windows?

3. Как очистить окно Command Windows?

4. Как в MATLAB осуществляется ввод и выполнение команд?

5. Как увеличить длину командной строки Command Windows, распространив её на несколько физических строк командного окна?

6. Что называется рабочей областью MATLAB?

7. Как осуществляется просмотр и редактирование значений переменных в окне Workspace?

8. Как отобразить список переменных, созданных в данном сеансе работы, в командном окне?

9. Как удалить неиспользуемую более переменную из рабочего пространства MATLAB?

10. Как получить справку по выбранной команде MATLAB?

11. Для чего служит редактор М-файлов?

12. Как вызвать редактор М-файлов, и какие отладочные средства он имеет?

13. Как осуществляется цветовые выделения и синтаксический контроль при работе с пакетом MATLAB?

14. Как можно получить быструю справку по любой команде MATLAB?

15. Расскажите о MATLAB в роли супер калькулятора.

16. Что принято называть сессией при работе с MATLAB?

17. Как изображается и для чего служит комментарий?

18. Что такое интерактивный режим?

19. Перечислите основные объекты, с которыми работает MATLAB.

20. В каком окне можно скорректировать данные, занесённые в рабочую область и как вызвать это окно?

21. Что такое системные переменные MATLAB их идентификаторы?

22. Перечислите системные переменные и назовите, какие значения принимает каждая системная переменная по умолчанию.

23. Перечислите типы переменных, используемых в MATLAB.

24. Правила задания имени переменной.

25. Как присвоить переменной значение?

26. В каком формате в MATLAB представляются вещественные числа?

27. Какие форматы отображения вещественных чисел используются в MATLAB?

28. Как в MATLAB осуществляются операции с комплексными числами?

29. Как в MATLAB осуществляются операции с матрицами?

30. Перечислите основные арифметические операторы и их синтаксис

31. в системе MATLAB

32. Что такое встроенная функция? Перечислите алгебраические и арифметические встроенные функции в MATLAB.

33. Перечислите тригонометрические и обратные встроенные функции в MATLAB.

34. Записать выражение в MATLAB: 2π + а 4.

35. Записать выражение в MATLAB: Sin 45 + Sin 45°.

36. Чем отличается действительное число от комплексного числа? Правила записи комплексных чисел в системе MATLAB.

37. Перечислите функции комплексной переменной в системе MATLAB.

38. Алгоритм решения системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

ЗАДАНИЕ 1:

а) вычислить значение функции y = f(x) в точке х₀

б) простроить график функции y = f(x) используя встроенную функцию MatLab poly(x,y) на интервале от х₀ до х_n _,шаг аргумента x определить самостоятельно

Варианты заданий.

№ варианта	Функция	х₀	х_n
		5,5	8,5
		2,75	4,2
		3,1	4,0
		4,21	7,6
		6,32	7,8
		4,75	6,25
		2,35	4,55
		8,29	12,49
		4,56	6,25
		1,23	12,0
		7,55	9,65

Пример выполнения задания:

>> x=4.75;

>> y=(2/3*(sin(2*x))^2)-(3/4*(cos(2*x))^2)

y =

-0.7420

>> x=4.75:0.05:5; % задание вектора аргумента (x0:шаг аргумента:xn)

>> y=(2/3*(sin(2*x)).^2)-(3/4*(cos(2*x)).^2)

y =

-0.7420 -0.7069 -0.6454 -0.5597 -0.4534 -0.3307

>> plot(x,y)

Рис. 10. График функции

со списком элементарных функций MatLab можно ознакомиться, набрав команду

>> help elfun

со списком операторов

>> help ops

Чтобы очистить командное окно, необходимо из меню Clear Command выбрать команду Command Window, очистить историю команд, Command History (Рис. 11)