Интегральная оценка качества

Экспериментальное исследование статических

И астатических систем автоматического регулирования

 

Цель работы: экспериментальное исследование статических и астати­ческих систем автоматического регулирования. Теоретическое и экспери­ментальное исследование влияния отдельных параметров системы на устой­чивость и точность ее работы. Определение оптимальных параметров уп­равляющего устройства.

Теоретические сведения

Для обеспечения работоспособности разрабатываемой или действующей системы автоматического управления необходимо добиться устойчивости ее движения. Устойчивость САУ лишь необходимое условие ее успешного функ­ционирования. Достаточным условием можно считать соответствие предъяв­ляемым к САУ требованиям качества регулирования. Качество регулирова­ния САУ оценивается соответствующими показателями, которые формулиру­ются проектировщиком системы на основе требований заказчика. Чаще все­го при проектировании и исследовании систем управления пользуются сле­дующими показателями.

1.Точность (установившаяся ошибка e_уст)

е_уст = g - y_уст = 1 - h_уст;

2.Перерегулирование s %

s% = (y_max - y_уст)×100% / y_уст = (h_max - h_уст)×100% / h_уст;

3.Время переходного процесса t_п - время в течение которого закан­чивается переходный процесс.

Переходный процесс считается закончившим­ся, когда выходная переменная системы последний раз вошла в пятипро­центную зону заданного значения выходной переменной. Пятипроцентная зона представляет собой полосу значений выходной переменной в диапазо­не (95 - 105)% от заданного значения g.

4.Колебательность M = y_max1 / y_max2.

В приведенных показателях качества приняты следующие обозначения:

- g_уст - установившееся заданное значение выходной переменной;

- y_уст - установившееся действительное значение выходной перемен­ной;

- y_max - максимальное значение выходной переменной;

- y_max1 - первое максимальное значение выходной переменной;

- y_max2 - второе максимальное значение выходной переменной;

- h_уст - установившееся значение переходной функции;

- h_max - максимальное значение переходной функции.

 

Рис. 2.1. Переходная функция.

На рис. 2.1 показана переходная функция, на которой отмечены пере­численные характеристики. Существуют и другие критерии качества анали­зируемой или синтезируемой САУ. К ряду таких критериев относится кри­терий в виде интегрального квадратичного функционала от функции ошибки системы на интервале управления

_t

J = [òe²(t)dt]/T_N,

⁰

где T_N - длительность интервала управления.

В данной лабораторной работе требуется исследовать систему, структурная схема которой приведена на рис. 2.2.

 

Рис. 2.2. Структурная схема САУ.

Объект управления характеризуется передаточной функцией вида

Wo = Ko/(T₁p+1)(T₂p+1).

В качестве управляющего устройства поочередно используются три типа регуляторов:

- пропорционально-интегральный (ПИ) регулятор, имеющий передаточ­ную функцию и формирующий управляющее воздействие:

W_p(p) = K_п + 1/Т_иp = K_п + K_и/р = U(p)/e(p),

_t

U(t) = K_п×е(t) + [òe(t)dt]/T_и;

⁰

- интегральный (И) регулятор

Wp(p) = 1/T_иp,

_t

U(t) = [òe(t)dt]/T_и;

⁰

- пропорциональный (П) регулятор

W_p(p) = K_п, U(t) = К_п×e(t).

Определение условий устойчивости системы

автоматического управления.

При исследовании САУ важно не только оценить устойчивость систе­мы, но и определить граничные значения параметров управляющего уст­ройства (параметры объекта управления считаются неизменными), при ко­торых сохраняется устойчивость системы, наметить пути устранения при­чин неустойчивости.

Для исследования устойчивости линейных непрерывных систем целесо­образно применять алгебраический критерий устойчивости Гурвица, предс­тавляющего собой совокупность необходимых и достаточных условий. Этим условиям должны удовлетворять коэффициенты и соотношение между коэффи­циентами характеристического уравнения исследуемой САУ

D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +... + a_n = 0.

 

Условия устойчивости по Гурвицу для систем, имеющих характеристи­ческие уравнения второй и третьей степени, имеют вид:

для n = 2 a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0; (1)

для n = 3 a₀ > 0, а₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0; (2a)

a₁a₂ - a₀a₃ > 0. (2б)

 

В общем виде характеристическое уравнение исследуемой системы можно представить в виде:

1 + W₀ (p)×W_p(p) = 0.

 

Тогда характеристическое уравнение исследуемой в лабораторной ра­боте системы с ПИ-регулятором представляется следующим выражением

Т_и×Т₁×Т₂p³ + Т_и×(Т₁ +Т₂)p² + Т_и×(1+K_пK₀)p + K₀ = 0.

 

Поскольку все коэффициенты положительны, то необходимое условие устойчивости - положительность всех коэффициентов (2a), выполнено для всех рассматриваемых в данной работе типов регуляторов. Если коэффици­ент передачи регулятора выбран заранее (например, из условий техничес­кой реализации регулятора), то для обеспечения устойчивости системы требуется подобрать постоянную времени регулятора Т_и из условия (2б)

Т_и = K₀×T₁×T₂/[(T₁ + T₂)×(1 + K_пK₀)]. (3)

При использовании И-регулятора система имеет следующее характе­ристическое уравнение

T_и×T₁×T₂p³ + T_и×(T₁+T₂)p² + T_иp + K₀ = 0.

Область возможных значений постоянной времени интегратора опреде­ляется неравенством

Т_и > K₀×T₁×T₂/[T₁ + T₂]. (4)

Из сопоставления выражений (3) и (4) следует, что для системы с ПИ-регулятором условия устойчивости являются менее жесткими, т.е. пос­тоянная времени интегратора может изменяться в более широких пределах при сохранении устойчивости.

При включении П-регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок и, согласно критерию Гурвица, система устойчива при любых значениях параметров регулятора.

Следовательно, с точки зрения устойчивости, система с объектом второго порядка и П-регулятором имеет предпочтение перед системами с И- и ПИ-регуляторами, которые, повышая порядок системы, сужают область устойчивости.

Анализ точности системы автоматического управления.

Одним из показателей качества САУ является ее точность, которая оценивается величиной ошибки e(t) в различных режимах работы системы. Однако, из-за сложности определения e(t) в любой момент времени точ­ность системы принято оценивать по величине установившейся ошибки

e_уст = lim e(t).

t ® ¥

В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе при сту­пенчатом воздействии различают статические и астатические САУ.

Статическими называют такие САУ, в которых при постоянных внешних воздействиях по окончании переходного процесса сохраняется установив­шаяся ошибка не равная нулю.

Астатическими называют такие САУ, в которых при постоянных внеш­них воздействиях по окончании переходного процесса установившаяся ошибка отсутствует, т.е. равна нулю.

Величину установившейся ошибки можно вычислить на основании тео­ремы о конечном значении функции преобразованной по Лапласу

е_уст = lim e(t) = lim p×E(p) = lim p×G(p)×Wе(p),

t ® ¥ p ® 0 p ® 0

где E(p) = L e(t) - изображение ошибки;

G(p) = L g(t) - изображение задающего воздействия, в качестве которого принят ступенчатый сигнал

g(t) = A×1(t) и G(p) = A/p;

We(p) = 1/[1 + W₀(p)×W_p(p)] - передаточная функция ошибки.

Выражения передаточных функций для систем с различными типами ре­гуляторов можно представить в следующем виде:

- для ПИ-регулятора

We(p) = [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)] / [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)+K₀(K_пT_иp+1)];

- для И-регулятора

W_e(p) = [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1)] / [T_иp(T₁p+1)(T₂p+1) + K₀];

- для П-регулятора

W_e(p) = [(T₁p+1)(T₂p+1)] / [(T₁p+1)(T₂p+1) + K₀К_п].

Для И- и ПИ-регуляторов установившаяся ошибка вычисляется по формуле

e_уст = lim p×A/p×We(p) = 0,

p ® 0

т.е. астатическая система при ступенчатом воздействии не имеет установившейся ошибки. В случае применения П-регулятора:

е_уст = A / [1 + К_пК₀].

Следовательно, если числитель передаточной функции системы по ошибке не содержит p0, то система является астатической и при ступен­чатом воздействии система не имеет установившейся ошибки. Поэтому, с точки зрения точности, системы с И и ПИ-регуляторами предпочтительнее систем с П - регуляторами.

Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности проти­воречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров управля­ющего устройства, которые при выполнении условий устойчивости обеспе­чивали бы требуемую точность регулирования.

Интегральная оценка качества

Интегральная оценка качества относится к аналитическим методам исследования САУ и дает общую оценку скорости затухания и отклонения управляемой величины в совокупности, без определения указанных пара­метров в отдельности.

Простейшей интегральной квадратичной оценкой является оценка вида

¥

J₀ = ò e²(t)dt,

⁰

где e(t) = g(t) - y(t) - ошибка системы; g(t) - задающее воздейс­твие; y(t) - регулируемая величина.

Если e(t) имеет постоянную составляющую в виде установившегося значения e_уст, то интеграл J₀ будет расходящимся, поэтому в качестве ошибки берут динамическую ошибку системы е₁, т.е. отклонение регулиру­емой величины y(t) от ее установившегося значения

e₁(t) = y_уст - y(t) = g(t) - e_уст - y(t) = e(t) - e_уст.

Интегральная квадратичная оценка может быть определена по изобра­жению ошибки

¥ c+jw

Jо = ò e₁²dt = [ò E₁(p)E₁(-p)dp] / 6,28j. (5)

-¥ c-jw

 

Для практических целей более удобной является формула Релея, ко­торая получается из (5) заменой p=jw

¥ ¥

J₀= [ò |E₁(jw)|² dw] / 2pj = [ò |W_e(jw)|²|G(jw)|² dw] / 2pj. (6)

- ¥ - ¥

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: