Краткие сведения из теории
Постановка задачи В качестве объекта исследования выступают линейные (линеаризованные) динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов
Необходимо: 1. Определить полюса и нули передаточной функции
2. Записать дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ. 3. Построить графики переходной и импульсно-переходной функции: h (t), w (t). 4. Построить логарифмические частотные характеристики L (w). 5. Построить частотный годограф Найквиста W (iw), w = [0, ¥ ]. 6. Представить исходную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев. Построить характеристики этих типовых звеньев. Краткие сведения из теории Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида:
где u (t) – входной процесс, y (t) – выходной процесс, ai, bj, (
Здесь D – оператор дифференцирования
где W (D) называется операторной передаточной функции. Один из способов моделирования систем заключается в представлении преобразования “вход-выход” в виде комплексной передаточной функции:
которая получается путем применения преобразования Лапласа к (1.2) при начальных нулевых условиях. Здесь s -комплексная переменная. Связь между операторной (1.2) и комплексной (1.3) передаточными функциями можно записать в виде
Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена В (s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A (s) – полюсами.
Явный вид связи входа и выхода определяется выражением:
где w (t) – оригинал (т.е. полученный с помощью обратного преобразования Лапласа) комплексной передаточной функции W (s). Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и d -функцию (дельта-функцию). Пусть u (t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая График функции Хевисайда приведен на рис. 1.1. Реакция САУ на единичный скачек называется переходной функцией системы и обозначается h (t).
Рис. 1.1. Функция Хевисайда. Рис. 1.2. Функция Дирака. Если u (t) = d (t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (d -функция, импульсная функция, рис. 1.2) определяемая то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w (t). Таким образом оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию систему на импульс. Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением (из (1.4)):
Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики. Пусть на вход системы с передаточной функцией W (s) подается гармонический сигнал u (t) = au cos(w t), t >0. (1.5) В этих условиях справедлива следующая теорема: Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y (t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой ay = au | W (iw)|, и относительным сдвигом по фазе y = arg W (iw). Таким образом, выход определяется гармонической функцией y (t) = au | W (iw)| cos(w t + arg W (iw)), где i – комплексная единица (i 2 = –1), Частотной характеристикой W (iw) стационарной динамической системы называется преобразование Фурье переходной функции:
где w (t – t) – импульсная переходная функция. Связь между комплексной передаточной функцией и частотной характеристикой, исходя из свойств преобразований Фурье можно представить в виде соотношения:
При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде
Здесь
Геометрическое место точек W (iw) на комплексной плоскости при изменении w от w 0 до от w 1 (обычно w 0 = 0, w 1 = ¥), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста. Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|