Задача на коэффициент Джини.

Всех жителей некоторой общины можно условно разделить на три равные группы по численности: бедные, средние, богатые. Доход Бедной группы составляет 20% от общего дохода всех жителей данной общины. Доход средней группы составляет 30%. Рассчитайте коэффициент Джини ().
В общине решили ввести налог на доходы богатой части общества в размере 30% от их дохода. Полученная сумма налога распределяется следующим образом: две трети полученной суммы идет бедным, одна треть - средней группе. Рассчитайте новое значение коэффициенты Джини().

Решение: После введения налога доход "богатых" составит: от общего дохода всех жителей, то есть распределиться между оставшимися группами общего дохода, следовательно доходы "бедных" составят: ; доходы "средних" составят , что равно доходам "богатых", то есть теперь общество делиться на 2 группы: "бедные" ( населения и от общего дохода) и "средние-богатые"( населения и от общего дохода).
Коэффициент Джини можно рассчитать, используя лемму о ломаной кривой Лоренца, имеющей два линейных участка (доказательство леммы в задаче, которая называется "В некоторой стране", введите в поиске по сайту, ссылку вставить не получилось), отсюда

Вычислите коэффициент Джини, примерно отражающий общемировое неравенство доходов, если ВВП развивающихся стран, в которых проживает 80 % населения Земли, в сумме составляют только 20 % общемирового продукта (заметим, что это соотношение держится уже много лет по данным Всемирного банка).

Решение и ответ

j=1-(0,8+(0,2+1))*0.2=1-2*0.2=0.6

Ответ:

0,6

В некоторой стране

В некоторой стране общество состоит из двух неравных по численности и уровню доходов групп: богатых и бедных. Допустим, бедные получают 40% совокупного дохода. Значение коэффициента Джини составляет 0,3. Рассчитайте долю бедных и долю богатых от общей численности населен

, где -доля беднейшего населения, - доля дохода беднейшего населения. Теперь для полноправного использования выведем эту формулу:

Ну или можно просто стандартно рассчитать коэффициент Джини, что в конечном итоге даст аналогичный результат результат))

·

Сложение кривых Лоренца

В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и милитаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только ВВП, пожертвовав жизнями населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном государстве равен . Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны?

Решение и ответ

Коэффициенты Джини отличаются на один из них равен (в демократической стране), а другой – (в тоталитарной).

Обозначим демократическую страну «D», а тоталитарную – «T», – ВВП, – численность населения, момент до войны – «0», момент после войны – «1».

Тогда

; .

; .
Отсюда
; .
Но в силу равенства ВВП на душу населения до войны .

Значит, .
Обозначим . Тогда .
Поймем, как будет выглядеть кривая Лоренца объединенного государства. Самые бедные в новом государстве – это жители бывшего тоталитарного государства, имеющие нулевые доходы. Их доля в населении нового государства равна , поэтому на отрезке кривая Лоренца нового государства будет совпадать с осью абсцисс. «Средний класс» в новом государстве будут составлять бывшие жители демократического государства. Вместе с бедными они будут составлять почти все население нового государства, а суммарная доля доходов этих групп населения в общем ВВП равна . Кроме того, внутри среднего класса распределение доходов абсолютно равномерно, поэтому следующий участок общей кривой Лоренца будет отрезком прямой с концами в точках и . И, наконец, соединяя точку с точкой , получаем отрезок общей кривой Лоренца, «ответственный» за богатых, то есть за ту самую крайне малочисленную группу населения тоталитарной страны, располагавшую всем ее ВВП. В итоге общая кривая Лоренца имеет вид:

Тогда коэффициент Джини равен .
Учитывая то, что , имеем:

Значит, .
Получается, что до войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Если бы страны объединились до войны, то общая кривая Лоренца имела бы качественно такой же вид, как и в случае объединения после войны. Следуя описанной выше логике построения этой кривой, нетрудно установить, что совокупная кривая Лоренца до войны проходила бы через точки , и совокупный коэффициент Джини был бы равен .

Ответ:

.