Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Анализ электрических цепей методом комплексных амплитуд.




 
 

 


Рис. 2.1.

 

E1=20sin(103t+60°)=20cos(103t-30°) B; L1=20 мГн; C1=10000 пФ;

E2=50cos(103t+45°) B; L2=300 мГн; С2=400 пФ;

R1=5 Oм; L3=50 мГн;

R2=100 Oм; L4=300 мГн;

R3=200 Oм; L5=10 мГн;

R4=10 Oм.

 

Рассчитаем мгновенные значения токов и напряжений схемы (рис. 2.1). Для начала заменим схему цепи (рис. 2.1) комплексной схемой замещения (рис 2.2). Будем считать, что токи и напряжения ветви направлены одинваково.

 

 

Число ветвей р=5, число узлов q=3, следовательно, основная система уравнений электрического равновесия содержит 2р=10 уравнений.

Составим систему уравнений.

На основании первого закона Кирхгофа составляем m=q-1=2 уравнений баланса токов:

 

(1) - - =0;

(2) - - =0;

 

На основании второго закона Кирхгофа составляем n=р-q+1=3 уравнений баланса напряжений.

 

(3) ;

(4) ;

(5) .

 

Запишем компонентные уравнения, связывающие токи и напряжения ветвей:

= - ;

= ;

= ;

= ;

=- - ;

 

Запишем Е1 и Е2 в комплексной форме.

 

=17.6-j9.6 B;

=34.8+j35.9 B.

 

Найдем комплексное сопротивление ветвей.

 

=R1+jwL1=5+j103*20*10-3=5+j20 Ом;

= R2+jwL2=100+j103*300*10-3=100+j300 Ом;

= R3+j[wL3-1/(wC1)]=200+j[103*50*10-3-1/(103*10000*10-12)]=200-j99950 Ом;

= j[wL4-1/(wC2)]=j[103*300*10-3-1/(103*400*10-12)]=-j2499700 Ом;

=R4+jwL5=10+j103*10*10-3=10+10j Ом.

 

Подставляя компонентные уравнения в уравнения баланса напряжений, получаем в сочетании с уравнениями баланса токов сокращенную систему уравнений.

 

- + =0; - = ;

+ - =0; + - =0;

- - - =0; - - = ;

- - =0; - - =0;

- - =0; - - =0;

 

Все расчеты выполнены MathCAD 2001 Rus.

=0.011+j0.067, A; = -18.884+j10.157, B;

=0.012+j0.067, A; =-18.884+j10.157, B;

=-0.00046+j0.00016, A; = 15.91+j46.054, B;

=0.000014-j0.000014, A; = -34.794-j35.897, B;

=-0.00047+j0.00017, A. = -34.794-j35.897, B.

 

 

Переведем из комплексной формы в гармоническую функцию полученные токи и напряжения.

=0.011+j0.067, A;

y=arctg(0.067/0.011)= 80.7°;

=68ej80.7°j мA;

=68cos(103t+80.7°)+68jsin(103t+80.7°), мA;

i1=Re[ ]= 68cos(103t+79.8°), мA.

 

=0.012+j0.067, A;

y=arctg(0.067/0.012)= 79.8°;

=68ej79.8° мA;

=68cos(103t+79.8°)+68jsin(103t+79.8°), мA;

i2=Re[ ]= 68cos(103t+79.8°), мA.

 

=-0.00046+j0.00016, A;

y= p/2+arctg(0.00016/0.00046)= 109.2°;

=490ej109.2° мкA;

=490cos(103t+109.2°)+490jsin(103t+109.2°), мкA;

i3=Re[ ]= 490cos(103t+109.2°), мкA.

 

=0.000014-j0.000014, A;

y= -arctg(0.000014/0.000014)= -45°;

=20e-j45° мкA;

=20cos(103t-45°)+20jsin(103t-45°), мкA;

i4=Re[ ]= 20cos(103t-45°), мкA.

 

I5=-0.00047+j0.00017, A.

y= p/2+arctg(0.00017/0.00047)= 109.9°;

I5=500ej109.9° мкA;

I5=500cos(103t+109.9°)+500jsin(103t+109.9°), мкA;

i5=Re[I5]= 500cos(103t+109.9°), мкA.

 

= -18.884+j10.157, B;

y=p/2+arctg(10.157/18,884)= 118.3°;

=21.4ej118.3° B;

=21.4cos(103t+118.3°)+21.4jsin(103t+118.3°), B;

u1=Re[ ]= 21.4cos(103t+118.3°), B.

 

=-18.884+j10.157;

y=p/2+arctg(10.157/18.884)= 118.3°;

=21.4ej118.3° B;

=21.4cos(103t+118.3°)+21.4jsin(103t+118.3°), B;

u2=Re[ ]= 21.4cos(103t+118.3°), B.

 

= 15.91+j46.054, B;

y= arctg(46.054/15.91)= 70.9°;

=48.7ej70.9° B;

=48.7cos(103t+70.9°)+48.7jsin(103t+70.9°), B;

u3=Re[ ]= 48.7cos(103t+70.9°), B.

 

= -34.794-j35.897, B;

y= p+arctg(-35.897/-34.794)= 225.9°;

=50ej225.9° B;

=50cos(103t+225.9°)+50jsin(103t+225.9°), B;

u4=Re[ ]= 50cos(103t+225.9°), B.

 

= -34.794-j35.897, B.

y= p+arctg(-35.897/-34.794)= 225.9°;

=50ej225.9° B;

=50cos(103t+225.9°)+50jsin(103t+225.9°), B;

u5=Re[ ]= 50cos(103t+225.9°), B.

 

Полученные результаты:

i1= 68cos(103t+79.8°), мA. u1= 21.4cos(103t+118.3°), B.

i2= 68cos(103t+79.8°), мA. u2= 21.4cos(103t+118.3°), B.

i3= 490cos(103t+109.2°), мкA. u3= 48.7cos(103t+70.9°), B.

i4= 20cos(103t-45°), мкA. u4= 50cos(103t+225.9°), B.

i5= 500cos(103t+109.9°), мкA. u5= 50cos(103t+225.9°), B.

 

3. Идеализированные пассивные элементы при
гармоническом воздействии.

u(t)=6cos1000t, B i(t)=0.6cos(1000t-45°), mA.

 

1. j=ju-jI=0-(-45°)=45°.

Так как реактивная мощность цепи положительная(0< j< p/2), то сопротивление имеет резистивно-индуктивный характер.

;

;

а) последовательное соединение.

z =R+jwL;

7071=L*1000*6.28 Þ

R=7.07 Ом

б) параллельное соединение.

=7071j;

=7071;

 

Все расчеты выполнены Mathcad 2000 Professional.

 

L=14.1 Гн;

R=14100 Ом.

 

2. Найдем:

a) мгновенную мощность.

p=ui=6cos1000t*0,0006cos(1000t-45°)=0,0018[cos(2000t-45°)+cos45°]= =0.0018cos(2000t-45°)+0.0013, Bт.

b) полную мощность.

PS=ImUm=6*0.0006=0.0036 В×A.

c) активную мощность.

j=ju-jI=0-(-45°)=45°.

PA= PScosj=0.0036cos45°=0.0025 Вт

d) реактивную мощность.

PQ= PSsinj=0.004sin45°=0.0025 вар.

e) Комплексную мощность.

PS =PSejj=0.0036ej45° В×A.

4. Простейшие линейные цепи при гармонических воздействиях.

u=4cos(106+60°) B;

R=4 Oм;

L=0.2 мГн;

С=0.1 мкФ

 

a) параллельная RL-цепь

 
 

 

 


Рис.4.1.а.

 

Найдем комплексное входное сопротивление цепи.

Þ ; Ом

 

 

Рис.4.2.а.

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Для определения комплексных действующих значений токов и напряжений на элементах цепи запишем комплексное действующее напряжение, приложенное к зажимам цепи в показательной форме:

В

Аналогично запишем комплексное входное сопротивление цепи:

Ом

На основании закона Ома:

А

Так, как соединение параллельное, то: .

А

А

Рис.4.3.а.

б) последовательная RC-цепь.

 
 

 

 


Рис.4.1.б.

Найдем комплексное входное сопротивление цепи.

Ом.

 

 

Рис.4.2.б.

Запишем комплексное действующее значение напряжения и комплексное входное сопротивление в показательной форме:

Ом

Ом

На основании закона Ома: А

 

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Так как цепь последовательная, то: А.

В

В

Рис.4.3.б.

 

в) параллельная RLC-цепь

 

Рис 4.1.в.

Ом-1

 

Ом

Запишем комплексное действующее значение напряжения и комплексное входное сопротивление в показательной форме:

Ом

В

На основании закона Ома: А

 

Рис.4.2.в.

 

Найдем комплексные действующие значения токов и напряжений на элементах цепи. Так как цепь параллельная, то

В

А

А

А

 

Рис.4.3.в.

 

 

5. Преобразование электрических цепей

 

5.1 Используя эквивалентные преобразования участков цепей определим комплексное входное сопротивление цепи, изображенной на рисунке 5.1. Параметры элементов цепи и частота гармонического воздействия указаны в таблице 5.1.

 

Рис. 5.1.

Таблица 5.1.

 

Частота, кГц Параметры элементов
Z 1= Z 2 Z 3 Z 4 Z 5= Z 6 Z 7= Z 8 Z 9= Z 10 Z 11= Z 12
  R=50кОм R=50кОм L=50мГн R=50кОм R=50кОм R=500Ом R=2кОм

 

 

Определим комплексные сопротивления Z 1Z 12:

Z 1= Z 2= R= 50кОм

Z 3= R=50 кОм

Z 4=j2πfL=j*2π*50*10-3*3*103=j300π=j0.942 кОм

Z 5= Z 6= R=50 кОм

Z 7= Z 8= R=50 кОм

Z 9= Z 10= R=0.5 кОм

Z 11= Z 12= R=2кОм

 

Преобразуем схему. Так как Z8 и Z11, Z10 и Z12 соединены последовательно, то схема примет вид (рис. 5.2.):

Рис. 5.2.

кОм

кОм

 

Применим преобразование звезда-треугольник к группам сопротивлений Z 1, Z 4, Z 2; Z 8,11, Z 6, Z 3; Z 5, Z 7, Z 10,12. Полученная схема примет вид (рис. 5.3.):

 

Рис. 5.3.

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

кОм

 

Так как сопротивления Z 6 3 и Z 1 4, Z 8,11 6 и Z 9 и Z 10,12, Z 42 и Z 75 соединены параллельно, то схема примет вид (рис. 5.4.):

 

Рис. 5.4.

кОм

кОм

кОм

 

Применим преобразование звезда-треугольник к сопротивлениям Z 1, Z 2, Z 3. полученная схема примет вид (рис. 5.5.):

 

Рис. 5.5.

кОм

кОм

кОм

Сопротивления Z 38,11 и Z 23, Z 12 и Z 510,12, Z 21 и Z 31 соединены параллельно, поэтому схема (рис. 5.5.) примет следующий вид (рис. 5.6.):

 

Рис. 5.6.

кОм

кОм

кОм

Сопротивления Z I и Z II соединены последовательно, поэтому схема (рис. 5.6.) преобразуется в эквивалентную схему (рис. 5.7.):

 

Рис. 5.7.

 

кОм

кОм

 

Преобразую схему (рис. 5.7.), получаем схему (рис. 5.8.) с одним эквивалентным сопротивлением:

 

Рис. 5.8.

Так как сопротивления Z ЭI и Z ЭII соединены параллельно, то Zэкв будет равно:

кОм

 

5.2 Определим входное сопротивление цепи, схема которой изображена на рис. 5.9. Величины параметров элементов цепи приведены в таблице 5.2.

 

Рис. 5.9.

 

Таблица 5.2.

Величины параметров элементов
R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом R6, Ом R7, Ом
             

 

Запишем сопротивление цепи (рис. 5.9.) в виде непрерывной дроби:

Ом

 

 

Вывод:

§ каждой гармонической функции времени можно единственным образом поставить в соответствие комплексное число (комплексную амплитуду), которое можно рассматривать как изображение этой гармонической функции на плоскости;

§ линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют операции над их комплексными амплитудами, причем операции дифференцирования и интегрирования заменяются операциями умножения и деления. Эти свойства комплексных изображений гармонических функций позволяют существенно упростить анализ линейных цепей;

§ комплексная схема замещения цепи может быть получена из схемы замещения для мгновенных значений всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями;

§ законы Кирхгофа были сформулированы только для мгновенных значений комплексных амплитуд и комплексных действующих значений токов и напряжений;

§ методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшит число одновременно решаемых уравнений;

§ комплексные сопротивления и проводимости идеализированных пассивных элементов линейных цепей не зависит от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрами элементов и частотой внешнего воздействия;

§ уравнения, описывающие процессы в параллельной RLC-цепи, подобны по структуре уравнениям электрического равновесия последовательной RLC-цепи и могут быть получены одно из другого путем замены тока на напряжение, проводимости на сопротивление, емкости на индуктивность. Следовательно, параллельная и последовательная RLC-цепи являются дуальными. Векторные диаграммы дуальных цепей также могут быть получены одни из других путем упомянутых замен.

§

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...