 |
Анализ систем с применением марковских процессов.
|
|
|
|
Лабораторная работа № 1
Аппарат марковских случайных процессов широко используется при анализе сложных систем управления для описания их поведения при наличии случайных факторов.
Пусть имеется случайный процесс, протекающий в системе с возможными состояниями Z0,Z1,…Zi,…Zj.. Обозначим условную вероятность того, что в момент t =t0+T система будет в состоянии Zj,если в момент t0 она была в состоянии Zi через Pij(t0,Т). Дискретный случайный процесс называется марковским, если вероятность Рij(t0,Т) зависит только от i,j,t0,T,т.е только от того, в каком состоянии система была в момент t0 и в какое состояние она перейдет через время Т.
Марковским процессом с непрерывным временем называется процесс, у которого переход из одного состояния в другое возможен в любой момент времени. Такой класс процессов широко используется для анализа поведения сложных систем управления.
Для описания поведения системы в классе марковских процессов с непрерывным временем необходимо:
1) Ввести понятие состояния системы.
2) Указать все состояния, в которых может находиться система.
3) Составить граф состояний, т.е. указать пути возможных непосредственных переходов системы из состояния в состояние.
4) Для расчета переходных процессов в системе указать, в каком состоянии находится система в начальный момент времени.
5) Для каждого возможного перехода на графе указать интенсивность l ij потока событий, переводящих систему из состояния Zi в состояние Zj. Обычно интенсивности l ij определяются экспериментально.
Исчерпывающей характеристикой марковского процесса является совокупность вероятностей Pj(t) того, что процесс в момент времени t будет находиться в состоянии Zj 
. Эти вероятности определяются на основе решения системы дифференциальных уравнений:
|
|
|
Система (1) определяет переходной процесс в предположении, что начальное состояние –P0.
Если число состояний системы n-конечно и из каждого состояния графа можно перейти в любое другое состояние, то такая система будет иметь предельный стационарный режим. Так, система рис.1а имеет стационарный режим, а система рис.1б - не имеет.
(а) Рис.1 (б)
С практической точки зрения представляет интерес определение вероятностей состояний системы в предельном стационарном режиме.
Для их расчета используется система алгебраических уравнений, получающаяся из (1) путем приравнивания к нулю производных:
 |
Система (3) является линейно зависимой, поэтому ее следует дополнить условием:
Пример. Два абонента А и В работают с одним информационным центром. В определенный момент времени центр может обслуживать только одного абонента. Абонент А имеет более высокий приоритет, поэтому, если от А приходит заявка, обслуживание В прекращается до окончания обслуживания А.
1. Рассчитать вероятности возможных состояний данной системы, если известны интенсивности потоков событий, переводящих систему в соседние состояния.
2. Выяснить, будет ли система работать эффективно, если для этого необходимо, чтобы потери времени абонента В на ожидание составили бы не более 50% времени его обслуживания.
3. Установить какие параметры и каким образом должны измениться, чтобы повысилась эффективность обслуживания абонента В?
Введем понятие состояния системы. Состояние системы определяется состоянием абонентов А и В. Для абонента А возможны два состояния: 0 – отсутствие заявки; 1 – обслуживание. Для абонента В возможны три состояния: 0 – отсутствие заявки; 1 – обслуживание; 2 – ожидание обслуживания.
Тогда состояния системы следующие:
|
|
|
(0,0) – 1 – отсутствие заявок от А и В;
(0,1) – 2 – отсутствие заявки от А и обслуживание В;
(1,0) – 3 – обслуживание А и отсутствие заявки от В;
(1,2) – 4 – обслуживание А и ожидание обслуживания для В.
 |
Граф состояния системы имеет вид:
Рис.2
В соответствии с (3) составим систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний Pi, i=1,4:
–(l12+l13)Р1+l21Р2+l31Р3=0
–(l21+l24)Р2+ l42Р4+l12Р1=0 (5)
–(l31+l34)Р3+l13Р1=0
–l42Р4+l24Р2+l34 Р3=0
Систему уравнений можно составить непосредственно по графу рис.2, пользуясь правилом: для каждого i-го состояния составляется одно уравнение, причем исходящие из i интенсивности l берутся со знаком минус и умножаются на Pi; входящие в i интенсивности умножаются со знаком плюс на вероятности тех состояний, из которых они исходят.
Допустим интенсивности для графа рис.2 заданы и равны: 
; 
; 
; 
; 
. Тогда система (5) примет вид: 
Это система линейно-зависимых уравнений. Поэтому одно уравнение (неважно какое) системы необходимо заменить условием (4):
(6)
Решая систему (6), например, методом Гаусса, получим:
; 
; 
; 
.
Отношение времени ожидания и времени обслуживания абонента В определяется отношением вероятностей состояний Р4 и Р2:
Т.к. это отношение больше 0,5 (50%), то можно сделать вывод о неэффективности работы системы.
Чтобы уменьшить отношение 
необходимо уменьшить интенсивность потоков l21,l34 и l24 или увеличить интенсивность потоков l12 иl42.
Задание.1. Для заданного графа состояний системы и интенсивностей переходов рассчитать вероятности состояний системы.
Для выделенных на графе вероятности 
и интенсивности 
определить: какие значения должна принимать интенсивность , чтобы вероятность не превышала величину а(а - задано).
Лабораторная работа №2
|
|
|
