Граничные условия раздела сред

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

 

Исполнитель: студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

 

Руководитель: старший преподаватель

Рыжков А.В.

 

Воронеж 1998г.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                      

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель     - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

Уравнения Пуассона и для граничных условий

Раздела сред

Уравнение Пуассона                              - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Граничные условия раздела сред        - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

 

Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления                              - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10

Метод переменных направлений       - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13

Построение разностных схем               - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16

 

ПРИЛОЖЕНИЕ                          - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА                             - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 

 

Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

 

 

Математическая модель

 

 

Пусть j (x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (С DEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:

 

d² j ₊ d² j   _{= 0}

 dx² dy²

а в области полупроводника (прямоугольник   ABGH) - уравнению Пуассона:

d² j ₊   d² j _{= 0}

 dx²   dy²

где   

  q               - элементарный заряд   e;

e _nn                  -диэлектрическая проницаемость кремния;

N _d (x,y)   -распределение концентрации донорской примеси в подложке;

N _a (x,y)   -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке; 

e ₀           -диэлектрическая постоянная

 

 

            _{0                              D                        E}

                                                                                                                _y

 

 

            _{B                                                                                                                                                             G}

                                                ^{C                                      F}

 

            _{A                                                                                                                                                            H}

            

 

             _x

	Рис.1.

 

 

На контактах прибора задано условие Дирихле:

j | _BC = Uu

j | _DE = U з

j | _FG = Uc

j | _AH = Un

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры

относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:

 

d j _{= 0}               d j _{= 0}

dy _AB             dy _GH

На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:

 

d j _{= 0}               d j _{= 0}

dy   _DC              dy _EF

 

На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения:

 

j | _-0 = j | ₊₀

e _ok E _x |_-0 - e _nn E _x |₊₀ = - Q_ss

где Q_ss -плотность поверхностного заряда;

e _ok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

e _nn -диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Под символом “ +0 ” и”- 0 ” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния. Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.

 

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

 

 

     Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред

 

 

Уравнение Пуассона

 

В области {(x,y): 0 < x < L_x, 0 < y < L_y } вводится сетка

 

W={(x,y): 0 < i < M₁, 0 < j < M₂}

x₀ =0, y₀=0, x _{M 1} = L_x, y _{M 2} = L_y

x_i+1 = x_i + h_i+1   , y_j+1 = y_j+ r_j+1

 i = 0,...,M₁-1      j = 0,...,M₂-1

 

 

 

 

Потоковые точки:

x_{i+ ½}  = x_{i +} h_i+1,        i = 0,1,...,M₁-1

2

y_{j+ ½}  = y_{j +} r_j+1,         j = 0,1,...,M₂-1

2

Обозначим:

U (x_i,y_j) = U_ij

I(x_i+½,y_j) = I_i+½,j

I(x_i,y_j+½) = I_i,j+½

Проинтегрируем уравнение Пуассона:

 

D j = -    q  (N _d + N _a)

e ₀ e _n

     Q(x,y)

по области:

V _ij = { (x,y): x_{i- ½}   < x < x_{i+ ½}  , y_{j- ½}   < y < y_{j+ ½}  }

x_{i+ ½} y_{j+ ½}        x_{i+ ½}         y_{j+ ½}

ò ò D j dxdy = ò ò Q(x,y) dxdy

x_{i- ½} y_{j- ½} x_{i- ½}        y_{j- ½}

Отсюда:

y_j+½                                                x_i+½

ò (Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y)) dx + ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½)) dy=

y_j-½                                                 x_i-½

x_{i+ ½}      y_{j+ ½}

= ò ò Q(x,y) dxdy

_{xi- ½}     y_{j- ½}

Здесь:

E_x(x,y) = - d j (x,y)

             dx                                      (*)

E_y(x,y) = - d j (x,y)

              dy

x у -компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

y_j-½ <   y < y_{j- ½}                E_x(x_{i + ½},y_j) = E_{i+ ½,j} = const

y_j-½ < y < y_{j- ½}                Ex(x_{i - ½} ,y_j) = E_{i- ½,j} = const        (**)

 x_i-½ < x < x_{i+ ½}                Ey(x_i, y_{j + ½}) = E_{i,j+ ½}  = const

x_i-½   < x < x_{i+ ½}               Ey(x_i, y_{j -½} ) = E_{i,j - ½}  = const

x_{i- ½}   < x < x_{i+ ½}

y_{j- ½}    <  y <     y_{j+ ½}    - Q(x,y) = Q_ij = const

 

Тогда

(E_x)_{i+ ½,j} - (E_x)_{i -½,j} r^*_j + (E_y)_{ij+ ½}  - (E_y)_{ij- ½}    h^*_i = Q_ijh^*_i r^*_j

где h^*_i = h_i - h_i+1, r^*_j = r_j - r_j+1

            2                        2

Теперь Е_{i+ ½ ,j} выражаем через значение j (x,y) в узлах сетки:

x_i+1

ò E x(x,y_j) dx = - j _i+1,j - j _ij

x_i

из (* *) при y=y_j:

 

(E_x)_{i+ ½,j} = - j _i+1j - j _ij

                 h_i+1

Анологично:

(E_y)_{i,j+ ½}= - j _ij+1 - j _ij

                 r_j+1

 

Отсюда:

(D j)_ij = 1 j _i+1,j - j _ij    -   j _{i j} - j _i-1,j        +  1 j _{i j+1} - j _ij    - j _ij - j _ij-1 =

            h^*_i   h_i+1                    h_i               r^*_j   r_j+1                   r_j

 

= N d_ij + N a_ij

 

Граничные условия раздела сред

 

         SiO₂

         e₁

 

 

   Si                                                                                                                 y

   e_n

 

  x

 

 

Для области V _0j

y_{j+ ½}                                                                                   x _½

e _n e ₀ ò (E_x(x _½,y) - E⁺_x(0,y))dy + e _n e ₀ ò (E_y(x,y_{j+ ½}) - E_y(x,_{j- ½} ))dx =

y_{j- ½}                                                               0

x _½ y_j+½

= q ò ò (N d + N a) dxdy

0 y_j-½

Для области V` _0j

y_{j+ ½}                                                                                   x _½

e _n e ₀ ò (E^-_x(0,y) - E_x(x _-½,y))dy + e _n e ₀ ò (E_y(x,y_j+½) - E_y(x,_j-½))dx = 0

y_{j- ½}                                                                 0

где E⁺_x(0,y) и E^-_x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора

Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая

условия:

 

e _n e ₀ d j ⁺ - e ₁ e ₀ d j ^- = -Qss

 dx         dx

 

имеем

y_j+½                                                                                                                           x_½

ò (e _n e ₀ E_x(x_½,y) - e ₁ e ₀ E_x(x_-½,y) - Q_ss(y)) dy + e _n e ₀ ò (E_y(x,y_j+½) + E _y (x_,y_j-½)) dx +

y_j-½                                                                             0

0                                              x_½ y_j+½

+ e ₁ e ₀ ò (E_y(x,y_j+½) - E_y(x,y_j-½))dx = q ò ò (N _d + N _a) dxdy

x_-½                                           0 y_j-½

 

Сделав относительно E_x и E_y предположения анологичные (**) положив Q_ss(y) = Q_ss = const при y_j-½ < y < y_j+½  и учитывая условия:

j⁺ = j^-   dj ⁺ = dj ^-

         dy     dy

“+”- со стороны кремния

“-“ - со стороны окисла

Получим:

 

e _n e ₀ (E_x)_½,j - e ₁ e ₀ (E_x)_-½,j - Q_ss r^*_j + e_ne₀h₁ + e₁e₀h_{-1 .}  (E_y)_0,j+½  - (E_y)_0,j-½ =

2       2

 

= q (N d_0j - N a_0j) h₁r^*_j

2

что можно записать:

1 e _n e ₀ j_ij -j_0j - e ₁ e ₀  j_0j - j_ij + e_ne₀h₁ + e₁e₀h_-1j_0,j+1 - j_0j -  j_0j - j_0,j-1 =

h^*       h₁                h_-1                 2h^*r^*_j              r_j+1                   r_j

= - q  (Nd_0j - Na_0j).  h₁ - Q_ss

 2                       h^* h^*

 

 

где h^* = h₁ + h_-1

              2

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: