 |
Логарифмические частотные характеристики
|
|
|
|
5.1. Система координат. Простейшие ЛАХ
Lw = 20 
| 
| = 
.
Значения для Lw выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Два бела соответствует увеличению мощности в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела.
Для построения ЛАХ используется система координат, рис.1.33. По оси абсцисс откладывается угловая частота 
(размерность 
) в логарифмическом масштабе (рис.1.33,а). Для этой цели может использоваться специальная логарифмическая бумага или логарифмическая шкала.
Справка. Логарифмическая шкала неравномерная. Строится так: на осях прямоугольной системы координат 
откладываются десятичные логарифмы чисел 
и 
: 
Через точки деления, имеющие числовые пометки и проводятся прямые параллельные осям 
и 
.
По оси ординат откладывается 
в децибелах 
. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб., что соответствует значению 
=1. Иногда по оси абсцисс откладывается не сама частота (рис.1.33,а), а ее десятичный логарифм, (рис.1.33,б). Единицей приращения частоты при построении ЛАХ является одна декада. Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте. На рис. 1.33,а ось ординат пересекает ось абсцисс в точке 
. Необходимо помнить, что точка 
расположена на оси частот слева в бесконечности, так как 
∞.
Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность их построения во многих случаях без объемной вычислительной работы. Это относится в основном к случаям, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Рассмотрим примеры построения простейших ЛАХ.
|
|
|
1. Пусть 
тогда 
. Логарифмическая характеристика представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (см. прямая 1 на рис. 1.33,а).
|
тогда 
. Нетрудно видеть, что - прямая линия. Если 
, то 
. Если 
то 
=0. Далее нетрудно построить прямую 2 (рис.1.33,а) c координатами и . Видно, что с увеличением частоты на одну декаду 
уменьшается на 20 
, т.е. асимптота имеет отрицательный наклон равный 20дб/дк. Этот факт на графике отмечен цифрой «-20». Отметим, что частота, при которой 
(при этом 
) называется частотой среза и обозначается 
.
3. Далее рассмотрим случай, когда 
С опорой на предыдущий случай можем записать 
. Видно, что в данном случае ЛАХ представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном равным -40 
(прямая 3 на рис.1.33,а).
4. Пусть 
, тогда 
. Если , то 
. Нетрудно увидеть, что - это прямая линия, проходящая через точку с координатами и 
. Линия имеет положительный наклон +20 , рис.1.33,а.
Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда 
ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 
. Эта прямая также строится по одной точке, имеющей координаты 
и 
.
5.2. Логарифмические характеристики динамических звеньев
Апериодическое звено 1 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид
(1.70)
При построении ЛАХ используется следующий прием. Рассматриваются выражения для АЧХ при частотах 
и 
.
Если , то 
, если , то 
. Частота 
называется сопрягающей и обозначается 
.
В первом случае 
, во втором случае 
.
На рис.1.34 представлены два варианта ЛАХ для рассматриваемого звена. Цифрой 1 обозначен вариант, соответствующий данным 
. Цифрой 2 – вариант, соответствующий данным 
с. Видно, что постоянная времени 
не оказывает влияния на наклон ЛАХ. Изменяется лишь значение для сопрягающей частоты. При Т = 1с. 
, при 
. 
.
|
|
|
Выполненное построение ЛАХ является приближенным. График ЛАХ составляется из прямых отрезков, называемых асимптотами. Приближенными являются соединения асимптот в окрестности сопрягающих частот. Например, в точке 
(рассматривается вариант, когда 
). При точном построении точка 
располагается ниже на 3,03 . Это замечание следует из следующего.
Вычислим значение в точке 
Для этого используем значение частоты и формулу (1.70). В результате можем записать: 
, 
Ошибка в этой точке составляет 3.03 . На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты точная ЛАХ будет отличаться от приближенной (асимптотической) менее чем на 3 
Поэтому в расчетах практически всегда применяются асимптотические ЛАХ.
Апериодическое звено 2 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид
(1.71)
Примем, что 
и 
и найдем сопрягающие частоты 
и 
. Расчет показывает, что 
.
Далее рассматриваются три случая.
1. Если 
(рис.1.35), то принимается, что в выражении (1.71) 
и 
В этом случае формула (1.71) приобретает следующий упрощенный вид 
. Следовательно, на участке изменения частоты 
¸ 
ЛАХ может быть построена по выражению 
. ЛАХ на этом участке представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, рис.1.35;
2. Если 
, то принимается, что 
, а 
. В этом случае формула (1.65) может быть представлена уже в другом упрощенном виде 
. Выражение для построения ЛАХ получается следующим 
. Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным наклоном 20дб/дек.;
3. Если 
, то принимается, что и 
. В этом случае формула (1.71) может быть представлена также в упрощенном виде 
. Выражение для построения ЛАХ получается следующим 
. Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным углом наклона 40дб/дек.
Интегрирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид
(1.72)
Как и ранее построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Из выражения (1.72) видно, что сопрягающая частота здесь одна 
. Далее определяются упрощенные выражения для построения ЛАХ. Если 
, то принимается, что 
и 
. Если 
, то 
и 
. Для частот ассимптота 
. Для частот асимптота 
.
|
|
|
| |||||
| |||||
На рис.1.36 изображена ЛАХ для интегрирующего звена. Видно, что характеристика содержит две асимптоты с отрицательными углами наклона - 20дб/дек и - 40дб/дек. Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) необходимо задать и вычислить 
. Далее через точку с координатами и до сопрягающей частоты проводится асимптота с наклоном -20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частот проводится с отрицательным углом наклона 40дб/дек.
Дифференцирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид
. (1.73)
Сопрягающая частота 
.
Если 
, то принимается, что 
и 
. Если 
, то 
, 
и 
.
На рис. 1.36 изображена ЛАХ дифференцирующего звена.
Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) вычисляют значение 
при . Далее через эту точку проводится асимптота с положительным углом наклона равным 20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частот ) проходит параллельно оси частот.
5.3. Построение ЛАХ и ЛФХ для сложных передаточных функций
Из предыдущего материала следует, что при построении ЛАХ для различных передаточных функций выполняются одни и те же операции. Опыт построения ЛАХ для сложных передаточных функций позволяет сделать такой же вывод. Поэтому оказалось возможным составить общий порядок построения ЛАХ для передаточных функций вида
: (1.74)
1. Определение сопрягающих частот 
;
2. Нанесение низкочастотной асимптоты ЛАХ
. (1.75)
Это уравнение прямой с отрицательным углом наклоном 
, где порядок астатизма в системе определяется числом интегрирующих звеньев в регуляторе. Продолжительность прямой - до первой сопрягающей частоты 
. Прямая при частоте должна иметь ординату 
, где 
коэффициент передачи.
После каждой из сопрягающих частот 
изменяется наклон характеристики 
по сравнению с наклоном, который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты. Наклон изменяется на – 20 дб/дек в случае апериодического звена, на – 40 дб/дек – в случае колебательного звена, +20 дб/дек – в случае дифференцирующего звена 1 порядка, +40 дб/дек в случае дифференцирующего звена второго порядка.
|
|
|
Пример. Передаточная функция системы имеет вид
, (1.76)
где 
, 
, 
Требуется построить ЛАХ.
В соответствии с приведенным выше порядком построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Данные сопрягающих частот 
, 
, 
, 
наносятся на график, рис. 1.37. Далее на график наносится низкочастотная асимптота. Передаточная функция (1.76) относится к системе с астатизмом нулевого порядка. Это означает, что в уравнении (1.75) множитель 
поэтому низкочастотная асимптота представляет собой прямую параллельную оси частот. Асимптота заканчивается в точке 
. Сопрягающая частота 
принадлежит апериодическому звену. Следовательно, следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный -20 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке 
. Сопрягающая частота 
= 
также принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный уже -40 дб/дек. Этот угол является результатом суммирования углов наклона предыдущей и рассматриваемой асимптот. Асимптота заканчивается в точке 
. Сопрягающая частота 
тоже принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь угол наклона – 60 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке 
. Сопрягающая частота принадлежит дифференцирующему звену, поэтому угол наклона очередной и последней асимптоты увеличится на 20 дб/дек и составит – 40 дб/дек.
Для построения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) используется та же ось частот, что и для построения ЛАХ. По оси ординат откладывается смещение по фазе в градусах. Однако, принято точку «0» дб. совместить с точкой, где смещение по фазе равно – 1800. При этом отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный вниз, рис.1.37,а.
Рассмотрим пример. Пусть требуется построить ЛФХ для системы с передаточной функцией (1.76). Выражение для фазовой частотной характеристики имеет вид
y(
) = - arc tan 10 – arc tan – arc tan 0.005 + arc tan 0.25 . (1.77)
В таблице 1 представлены результаты расчета слагаемых выражения (1.77) и характеристики в целом на некоторых частотах. Данные таблицы перенесены на график (рис.1.37,а).
Обычно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики изображают на одном графике, так как по их взаимному расположению можно определять устойчивость системы. Подробнее эта возможность будет рассмотрена в материале об устойчивости САР.
|
|
|
|
|
|
