Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Логарифмические частотные характеристики




 

5.1. Система координат. Простейшие ЛАХ

 

 
Существует два вида характеристик: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика(ЛФХ). Для построения ЛАХ находится выражение

Lw = 20 | | = .

Значения для Lw выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Два бела соответствует увеличению мощности в 100 раз, три бела – в 1000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела.

Для построения ЛАХ используется система координат, рис.1.33. По оси абсцисс откладывается угловая частота (размерность ) в логарифмическом масштабе (рис.1.33,а). Для этой цели может использоваться специальная логарифмическая бумага или логарифмическая шкала.

Справка. Логарифмическая шкала неравномерная. Строится так: на осях прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и : Через точки деления, имеющие числовые пометки и проводятся прямые параллельные осям и .

По оси ординат откладывается в децибелах . Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб., что соответствует значению =1. Иногда по оси абсцисс откладывается не сама частота (рис.1.33,а), а ее десятичный логарифм, (рис.1.33,б). Единицей приращения частоты при построении ЛАХ является одна декада. Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте. На рис. 1.33,а ось ординат пересекает ось абсцисс в точке . Необходимо помнить, что точка расположена на оси частот слева в бесконечности, так как ∞.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность их построения во многих случаях без объемной вычислительной работы. Это относится в основном к случаям, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Рассмотрим примеры построения простейших ЛАХ.

1. Пусть тогда . Логарифмическая характеристика представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (см. прямая 1 на рис. 1.33,а).

 

Рис.
2. Рассмотрим случай, когда тогда . Нетрудно видеть, что - прямая линия. Если , то . Если то =0. Далее нетрудно построить прямую 2 (рис.1.33,а) c координатами и . Видно, что с увеличением частоты на одну декаду уменьшается на 20 , т.е. асимптота имеет отрицательный наклон равный 20дб/дк. Этот факт на графике отмечен цифрой «-20». Отметим, что частота, при которой (при этом ) называется частотой среза и обозначается .

3. Далее рассмотрим случай, когда С опорой на предыдущий случай можем записать . Видно, что в данном случае ЛАХ представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном равным -40 (прямая 3 на рис.1.33,а).

4. Пусть , тогда . Если , то . Нетрудно увидеть, что - это прямая линия, проходящая через точку с координатами и . Линия имеет положительный наклон +20 , рис.1.33,а.

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 . Эта прямая также строится по одной точке, имеющей координаты и .

 

5.2. Логарифмические характеристики динамических звеньев

 

Апериодическое звено 1 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.70)

При построении ЛАХ используется следующий прием. Рассматриваются выражения для АЧХ при частотах и .

Если , то , если , то . Частота называется сопрягающей и обозначается .

В первом случае , во втором случае .

 

 

На рис.1.34 представлены два варианта ЛАХ для рассматриваемого звена. Цифрой 1 обозначен вариант, соответствующий данным . Цифрой 2 – вариант, соответствующий данным с. Видно, что постоянная времени не оказывает влияния на наклон ЛАХ. Изменяется лишь значение для сопрягающей частоты. При Т = 1с. , при . .

Выполненное построение ЛАХ является приближенным. График ЛАХ составляется из прямых отрезков, называемых асимптотами. Приближенными являются соединения асимптот в окрестности сопрягающих частот. Например, в точке (рассматривается вариант, когда ). При точном построении точка располагается ниже на 3,03 . Это замечание следует из следующего.

Вычислим значение в точке Для этого используем значение частоты и формулу (1.70). В результате можем записать: , Ошибка в этой точке составляет 3.03 . На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты точная ЛАХ будет отличаться от приближенной (асимптотической) менее чем на 3 Поэтому в расчетах практически всегда применяются асимптотические ЛАХ.

Апериодическое звено 2 порядка. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.71)

Примем, что и и найдем сопрягающие частоты и . Расчет показывает, что .

 

Далее рассматриваются три случая.

1. Если (рис.1.35), то принимается, что в выражении (1.71) и В этом случае формула (1.71) приобретает следующий упрощенный вид . Следовательно, на участке изменения частоты ¸ ЛАХ может быть построена по выражению . ЛАХ на этом участке представляет собой прямую параллельную оси абсцисс, рис.1.35;

2. Если , то принимается, что , а . В этом случае формула (1.65) может быть представлена уже в другом упрощенном виде . Выражение для построения ЛАХ получается следующим . Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным наклоном 20дб/дек.;

3. Если , то принимается, что и . В этом случае формула (1.71) может быть представлена также в упрощенном виде . Выражение для построения ЛАХ получается следующим . Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным углом наклона 40дб/дек.

Интегрирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

(1.72)

Как и ранее построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Из выражения (1.72) видно, что сопрягающая частота здесь одна . Далее определяются упрощенные выражения для построения ЛАХ. Если , то принимается, что и . Если , то и . Для частот ассимптота . Для частот асимптота .

           
   
Lw
 
   
   
 
-40
 


 

На рис.1.36 изображена ЛАХ для интегрирующего звена. Видно, что характеристика содержит две асимптоты с отрицательными углами наклона - 20дб/дек и - 40дб/дек. Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) необходимо задать и вычислить . Далее через точку с координатами и до сопрягающей частоты проводится асимптота с наклоном -20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частот проводится с отрицательным углом наклона 40дб/дек.

Дифференцирующее звено. Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид

. (1.73)

Сопрягающая частота .

Если , то принимается, что и . Если , то , и .

На рис. 1.36 изображена ЛАХ дифференцирующего звена.

Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) вычисляют значение при . Далее через эту точку проводится асимптота с положительным углом наклона равным 20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частот ) проходит параллельно оси частот.

 

 

 

 

5.3. Построение ЛАХ и ЛФХ для сложных передаточных функций

 

Из предыдущего материала следует, что при построении ЛАХ для различных передаточных функций выполняются одни и те же операции. Опыт построения ЛАХ для сложных передаточных функций позволяет сделать такой же вывод. Поэтому оказалось возможным составить общий порядок построения ЛАХ для передаточных функций вида

: (1.74)

1. Определение сопрягающих частот ;

2. Нанесение низкочастотной асимптоты ЛАХ

. (1.75)

Это уравнение прямой с отрицательным углом наклоном , где порядок астатизма в системе определяется числом интегрирующих звеньев в регуляторе. Продолжительность прямой - до первой сопрягающей частоты . Прямая при частоте должна иметь ординату , где коэффициент передачи.

После каждой из сопрягающих частот изменяется наклон характеристики по сравнению с наклоном, который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты. Наклон изменяется на – 20 дб/дек в случае апериодического звена, на – 40 дб/дек – в случае колебательного звена, +20 дб/дек – в случае дифференцирующего звена 1 порядка, +40 дб/дек в случае дифференцирующего звена второго порядка.

Пример. Передаточная функция системы имеет вид

, (1.76)

где , ,

Требуется построить ЛАХ.

 

В соответствии с приведенным выше порядком построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Данные сопрягающих частот , , , наносятся на график, рис. 1.37. Далее на график наносится низкочастотная асимптота. Передаточная функция (1.76) относится к системе с астатизмом нулевого порядка. Это означает, что в уравнении (1.75) множитель поэтому низкочастотная асимптота представляет собой прямую параллельную оси частот. Асимптота заканчивается в точке . Сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену. Следовательно, следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный -20 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке . Сопрягающая частота = также принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный уже -40 дб/дек. Этот угол является результатом суммирования углов наклона предыдущей и рассматриваемой асимптот. Асимптота заканчивается в точке . Сопрягающая частота тоже принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь угол наклона – 60 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке . Сопрягающая частота принадлежит дифференцирующему звену, поэтому угол наклона очередной и последней асимптоты увеличится на 20 дб/дек и составит – 40 дб/дек.

Для построения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) используется та же ось частот, что и для построения ЛАХ. По оси ординат откладывается смещение по фазе в градусах. Однако, принято точку «0» дб. совместить с точкой, где смещение по фазе равно – 1800. При этом отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный вниз, рис.1.37,а.

Рассмотрим пример. Пусть требуется построить ЛФХ для системы с передаточной функцией (1.76). Выражение для фазовой частотной характеристики имеет вид

y() = - arc tan 10 – arc tan – arc tan 0.005 + arc tan 0.25 . (1.77)

 

 

 

В таблице 1 представлены результаты расчета слагаемых выражения (1.77) и характеристики в целом на некоторых частотах. Данные таблицы перенесены на график (рис.1.37,а).

Обычно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики изображают на одном графике, так как по их взаимному расположению можно определять устойчивость системы. Подробнее эта возможность будет рассмотрена в материале об устойчивости САР.

 

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...