Пропорциональных величин (подобия).

 

Метод пропорциональных величин применим для расчета цепей, состоящих из последовательно и параллельно соединенных резисторов и одного источника электрической энергии, подключенного к входным зажимам.

Задаемся током, например 1 А, в наиболее удаленной ветви электрической схемы:

R1 = 2 Ом, R2 = 11 Ом, R3 = 1 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 2 Ом, R6 = 4 Ом,

R7 = 2 Ом, R8 = 2 Ом, Uо = 100 В.

 

Далее, продвигаясь от конца схемы к ее началу, находим токи в ветвях и напряжения на различных её участках. Найденное значение напряжения на входе Uао будет отличаться от заданного Uо в k раз:

k = Uо / Uао.

Тогда реальные токи в ветвях и напряжения на участках схемы так же будут отличаться от найденных в k раз.

Udo = I7 (R7 + R8) = 1(2+2) = 4 В,

I6 =Udo / R6 = 4 / 4 = 1 A,

I5 = I6 + I7 = 1 + 1= 2 A,

Ucо = I5R5 + Udo = 2 × 2 + 4 = 8 B,

I4 =Uco / R4 = 8 / 8 = 1 A,

I3 = I4 + I5 = 1 + 2= 3 A,

Ubо = I3R3 + Uсo = 3 × 1 + 8 = 11 B,

I2 =Ubo / R2 = 11 / 11 = 1 A,

I1 = I2 + I3 = 1 + 3 = 4 A,

Uао = I1R1 + Ubo = 4 × 4 + 11 = 19 B,

k = Uo /Uао = 100 / 19,

тогда, например, ток I5 при входном напряжении 100 В будет равен

 

Метод пропорциональных величин применим только для линейных электрических цепей.

Метод уравнений Кирхгофа

 

Сущность этого метода: составление системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решение этой системы относительно неизвестных токов.

Если электрическая цепь содержит в ветвей, то в общем случае необходимо определить в токов, т. е. токи в каждой из ветвей. Следовательно общее число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа должны быть равно в. При числе узлов у число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа будет у-1, следовательно остальные n уравнений должны быть составлены по второму закону Кирхгофа:

n = в – (у – 1).

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу ветвей, т. е. числу неизвестных токов; это позволяет найти токи во всех ветвях электрической цепи.

Контуры необходимо выбирать так, что бы в систему составляемых уравнений вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров наименьшее число ветвей.

 

Пример 4. В цепи, изображенной на рис.., а даны ее элементы: Е₁=50 В; Е₂=10 В; r₁=0,4 Ом; r₂=1,0 Ом; R₁=3 Ом; R₂=R₃=2 Ом. Определить ток в ветвях.

(R₁+r₁)I₁ – R₃I₃ =E₁ ;

- (R₂+r₂)I₂ + R₃I₃= - E₂

 

Решение. В схеме у=2, в=3; следовательно, по первому закону Кирхгофа надо составить (у – 1) уравнений, т. е. одно уравнение, а по второму – два уравнения: n = в – (у – 1) = 2.

Обозначим стрелками токи в ветвях, выберем два независимых контура и укажем стрелками направления их обхода (например, по часовой стрелке); составим одно уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: I₁+I₂+I₃=0 и два уравнение по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

(R₁+r₁)I₁ – R₃I₃ =E₁ ;

- (R₂+r₂)I₂ + R₃I₃= - E₂

 

 

Перепишем эти уравнения с учетом исходных данных:

I₁+I₂+I₃=0

3,4I₁ - 2I₃=50

-3I₂+2I₃=-10

и решим их, получим: I₁= 10 А; I₂ =-2 А; I₃= -8 А. Действительные направления I₁ совпадает, а I₂ и I₃ противоположны их выбранным положительным направлениям.

Расчет цепей методом уравнений Кирхгофа целесообразно производить в следующем порядке:

- определить для заданной цепи числа у, в и n=в – (у – 1);

- обозначить на схеме токи в ветвях, назначив их положительные направления;

- выбрать независимые контуры и задаться направлениями их обхода;

- составить (у – 1) уравнений по первому и n уравнений по второму законам Кирхгофа; при обходе контура, ЭДС Е_k и содержащиеся в нем падения напряжений I_sR_s на его элементах R_s считаются положительными, если направления Е_k и I_s совпадают с выбранным направлением обхода контура;

- решить полученную систему уравнений относительно независимых токов; если некоторые токи получаются отрицательными, то это означает, что их действительные направления противоположны выбранным.

 

Проверку правильности расчета токов можно произвести по балансу мощностей или по выполнению законов Кирхгофа для любого узла и контура цепи.

 

Метод контурных токов

 

Определение: метод контурных токов сводится к составлению и решению системы уравнений, получаемый только по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС.

В качестве промежуточных переменных выбирают токи, замыкающиеся в каждом контуре и называемые контурными.

В этом случае число уравнений уменьшается до числа независимых контуров.

Метод будет эффективен при n<(у – 1).

Контурный ток равен току в ветви, по которой он протекает индивидуально, т. е.

I _I = I ₁; I _II = I ₂,

а ток I₃ в ветви R₃ с учетом обозначенных стрелками направлений равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих через R₃, т. е.

I₃ = I _I – I _II.

В каждый сомножитель – сумма (R₁+R₂) и (R₂+R₃) – представляет собой сумму всех сопротивлений в каждом неизвестном контуре; они обозначаются сопротивлениями R c двойным индексом соответственно номеру того контура, к которому относятся (R₁₁, R₂₂) и называются собственными сопротивлениями контуров:

R₁₁ = R₁+ R₃; R₂₂= R₂+ R₃

Аналогично сомножитель (–R₃) представляет собой сопротивление, входящее одновременно в каждый из двух смежных контуров; оно обозначается тоже сопротивлением R c двумя индексами соответственно номерам смежных контуров

R₁₂ = R₂₁ = - R₃

и называется взаимным сопротивлением контуров 1 и 2 (или 2 и 1); взаимные сопротивления являются положительными, если протекающие через них контурные токи имеют одинаковые направления, и отрицательными, если направления этих токов противоположны.

Алгебраическая сумма всех ЭДС в каждом независимом контуре получила название контурной ЭДС; им отвечают правые части каждого уравнения. Контурная ЭДС обозначается буквой Е с римским индексом (номер контура). Следовательно, контурные ЭДС равны:

Е_I = Е₁ - Е₃; Е_II = Е₃ – Е₂

При определении контурных ЭДС знаки слагаемых правых частей. определяются направлением контурных токов: если ЭДС ветви совпадает с направлением контурного тока, то она входит в алгебраическую сумму со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

С учетом понятий о контурных токах, сопротивлениях, ЭДС и их обозначений система принимает вид:

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи I_I и I_II и токи в ветвях I₁, I₂, I₃, пользуясь и если в ветви проходит только один контурный ток, то истинный ток в ветви равен этому контурному току, а токи в ветвях, по которым проходит несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме. Отрицательный знак контурного тока, полученный при решении означает, что его действительное направление противоположно первоначально принятому.

 

При расчете электрических цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться следующего порядка:

- выбрать независимые контуры цепи и указать положительные направления контурных токов I_k;

- вычислить собственные R_kk и взаимные R_ik сопротивления контуров, а также контурные ЭДС E_k;

- составить схему уравнений контурных токов по второму закону Кирхгофа;

- решить полученную систему уравнений, определив контурные токи Ik;

- определить токи I₁, I₂, … в ветвях.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: