 |
Указания к выполнению задания
|
|
|
|
Аппроксимация – это нахождение достаточно простого вида функции 
, значения которой при 
мало отличались бы от исходных табличных данных. Аппроксимация функции состоит из двух этапов:
1) выбор общего вида функции;
2) определение наилучших параметров выбранной функции,
Рассмотрим, как осуществляется подбор вида аппроксимирующей функции для простейших нелинейных зависимостей.
Пусть 
есть функция одной переменной 
с двумя параметрами 
и 
. В качестве набора функций, из которых будем выбирать эмпирическую зависимость (аппроксимирующую функцию), рассмотрим:
1) линейную функцию 
;
2) показательную функцию 
;
3) дробно-рациональную функцию 
;
4) логарифмическую функцию 
;
5) степенную функцию 
;
6) гиперболическую функцию 
;
7) дробно-рациональную функцию вида 
.
Для выбора вида аналитической зависимости 
выполнят следующие этапы:
- исходную таблицу данных представляют в виде графика ;
- на заданном отрезке изменения выбирают две точки, достаточно надежные и, по возможности, далеко отстоящие друг от друга, например, 
и 
;
- вычисляют:
среднее арифметическое 
;
среднее геометрическое 
;
среднее гармоническое 
;
- по вычисленным значениям , пользуясь графиком , находят значения 
:
, 
, 
;
- вычисляют:
; 
; 
;
- сравнивают найденные из графика с вычисленными и оценивают следующие погрешности результата сравнения:
; 
; 
; 
;
; 
; 
;
- находят из этих погрешностей минимальную: 
и делают заключение о виде аппроксимирующей функции. Например, если 
, то вид функции – четвертый в приведенном выше наборе функций;
- выполняют проверку правильности выбранного вида функции с помощью метода выравнивания.
Суть метода заключается в следующем: предполагая, что между и существует зависимость определенного вида, находят некоторые величины 
и 
, которые при сделанном предположении связаны линейной зависимостью. Например, если , то берут 
, 
или 
и 
. Вычисляя для заданных значений и соответствующие значения 
и 
и изображая зависимость 
графически, легко увидеть, близка ли последняя к линейной. Если точки зависимости лежат на одной прямой, выбранная функция является подходящей.
|
|
|
Для приведенных выше нелинейных зависимостей можно получить следующие линейные зависимости:
2) 
, где , 
, 
, 
;
3) 
, где , ;
4) , где 
, 
;
5) 
, где , 
, ;
6) 
, где , ;
7) , где , .
Уточнение параметров и для функции вида можно выполнить по методу выбранных точек.
Для этого на построенной кривой (или прямой в методе выравнивания) берут две произвольные точки 
и 
, составляют систему
,
разрешают ее относительно параметров и и подставляют полученные значения в формулу аппроксимирующей функции.
ЗАДАНИЕ №5
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
(одношаговые методы решения дифференциальных уравнений)
Расчет переходных процессов в электрических цепях связан с решением дифференциальных уравнений, составленным на основе законов коммутации и законов Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов.
Наиболее часто в электротехнике дифференциальные уравнения решаются численными методами (Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта 4-го порядка).
В задании №5 необходимо решить дифференциальное уравнение вышеуказанными методами.
Порядок выполнения задания:
1. Решить дифференциальное уравнение (согласно варианту задания) на заданном отрезке изменения аргумента с заданными начальными условиями и шагом расчета.
2. Проверить решение дифференциального уравнения при помощи встроенных в MathCAD функций rkfixed() или Rkadapt().
|
|
|
