Теор.(необход.усл.экстремума).

Билет 1.

Комплексные числа.

Комлексным числом Z наз. число z=x+iy, где x, y R.

Мн-во комплексных чисел – С, R C, x–действ. часть, y – мнимая часть.

Расстояние от z(x,y) до начала корд. наз. модулем комп. числа Z. Аргументом числа Z 0, наз угол , кот-й образует радиус-вектор точки Z и полож направл оси OX.

Argz = argz (главное знач аргумента) + 2 k k Z

- <argz<

argz =

z = x+iy=zcos +izin =z(cos +isin )

z=r(cos + isin ) (!)

z1 = r1(cos + isin )

z2 = r2(cos + isin ) тогда

z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2)

zⁿ = rⁿ(cos(n ) + isin(n )

- Формула Муавра (!)

Формулы Эйлера:

; (!)

; ; ;

 

 

Билет 20.

Предел функции нескольких переменных.

Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если для любого Е(эпсилон) сущ. N-N(E); любое n>=N(E) => p(Mn,A) < E; ; (число)

(x₁, x₂, …,x_m)-независимые переменные.

Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при ), если для любого Е > 0 сущ. , для любого

Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),

A(a₁, a₂,…, a_m)

Теор. Если сущ. и сущ. , то сущ. , причем

Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

M(x₁, x₂, …,x_n) ; … ; A(a₁, a₂, …,a_n)

Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если

Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.

(24) Геометр. смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 

 

f(x,y)=f(x₀,y₀)+A∆x+B∆x+o(ρ); z₀=f(x₀,y₀); z=f(x,y); ∆x=x-x₀, ∆y=y-y₀;

z₀=z₀+A(x-x₀)+B(y-y₀); z₀-z=A(x-x₀)+B(y-y₀);

z₀-z=f_x‘(x₀,y₀)(x-x₀)+f_y‘(x₀,y₀)(y-y₀)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности.

z=f(x,y) (x₀,y₀,z₀).

Нормалью к поверхн. в данной точке М₀(x₀,y₀,z₀) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат.

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀)=(z-z₀)/(-1) – ур-ние нормали

(x-x₀)/f_x‘(x₀,y₀,z₀)=(y-y₀)/f_y‘(x₀,y₀,z₀)=(z-z₀)/f_z‘(x₀,y₀,z₀)

 

Билет 2.

Многочлены.

Многочлен (полином) относительно переменной z - это

2z⁴-5z³+2z=(z²-1)(2 z²-5z+2)+(-3z-2)

Q_m(z) T_k(z) R_c(z)

Значит P_n(z) = Q_m(z) T_k(z) + R_c(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n;

Если R_c(z) = 0, то P_n(z) делится на Q_m(z).

Назовем компл. число z₁ корнем многочл. P_n(z), если P_n(z₁).

Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени P_n(z) делится на двучлен z-z₁, тогда и только тогда, когда z₁ является корнем P_n(z).

Запишем (*) для P_n(z) и z-z₁: P_n(z) = (z-z₁)T_n-1(z)+ R_c(z) => z:=z₁.

Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен P_n(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.

Компл. число z₁ наз. корнем кратности к₁ многочл. P_n(z), если

P_n(z) = (z-z₁)^к1Т_n-k1(z)

Следствие: Многочл. P_n(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:

P_n(z) = a_n(z-z₁)^к1(z-z₂)^к2…

Пусть z₁ – корень P_n(z) с действ. коэф-ми, тогда корень P_n(z)

P_n()= = =0

Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.

(z-z₁)(z- )=z²+p₁z+q₁

P_n(x) – с действ. коэф.

P_n(x)=a_n(x-x₁)^k1(x-x₂)^k2*…*(x-x_l)^kl(x²+p₁x+q₁)^R1(x²+p₂x+q₂)^R2*…*(x²+p_mx+q_m)^Rm

x₁, x₂,…,x_n – действ. корни

k₁, k₂,…,k_n – их кратности

P₁, P₂,…,P_n, q₁, q₂,…,q_n – действ. числа

k₁+k₂+…+k_l+2R₁+2R₂+…+2R_m = n

 

 

Билет 33.

Замена переменной в двойном интеграле.

(*)

Свойства

1) x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны

2) x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка

3)

P₁: x(u,v), y(u,v)

P_2: x(u+_∆u,v), y(u+_∆u,v)

I – Якобиан(Якоби)

Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’.

Вычисление в полярной сист координат.

,

 

a)

b)

c)

 

 

Билет 38.

Формула Грина.

Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.

Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.

Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.

Например: круг, прямоугольник, кольцо.

Теор. Грина: пусть P(x,y), Q(x,y) и и непрерывны в простой области D тогда

где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.

Док-во

Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.

Для I₂ – аналогично.

Формула Грина имеет место для любой простой области.

Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».

 

 

3) Рациональные дроби.

Опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью.

n>=m – дробь неправильная; n<m – правильная.

Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей.

Если - правильная дробь, то , где

z₁, z₂,…, z_l – разл. компл. корни

k₁, k₂,…, k_l – их кратности

то сущ. Такие компл. числа A_i^k, где i=1,2,…,l; k=1,2,…,k_i, то тогда

Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф.

Пусть - правильная дробь,

x₁, x₂,…, x_l – разл. компл. корни

k₁, k₂,…, k_l – их кратности

p_i²-4q_i<0 для i=1…s

R₁, R₂,…,R_s – кратности пар корней, тогда

+Метод неопределенных коэффициентов + Метод частных значений

 

 

Билет 8.

Интегрирование тригонометрических функций.

tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.

; ; ;

Специальная тригоном. подстановка:

1) R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;

2) R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;

3) R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;

Интегралы вида:

I. m,n Z, m,n >= 0;

1) Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t;

2) Оба нечетные или четные -

II. m,n Q

это дифференц. Бином

- для гиперболических функций аналогично

Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…

 

Билет 9.

Интегрирование иррациональных функций.

; ; n1,n2… N, m1,m2… Z

, где s-общий знаменатель дробей m1/n1, m2/n2 …

, тогда

Вид интеграла	Тригоном. подстановка	Иррацион. подстановка

 

m,n,p Q; a,b R

1) p Z, тогда , где s-общий знаменатель дроби

2)

3) , где s- знаменатель дроби

Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.

 

Билет 15.

Вычисление площадей плоских фигур.

1) В декартовой системе координат

f(x)-непрерывна

x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ

 

 

2) В параметрическом виде.

; ;

разбиваем: ;

3) В полярной системе координат

; ; ; ;

; ;

 

Билет 18.

Определение НИ-1.

Пусть f(x) определена на и инт на ; , т.е.

Пусть

Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.

;

Свойтсва НИ-1.

1) Аддитивность

Если сходится, то , ;

2) Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-1.

Формула Нбютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на и F – какая-то первообразная для ф-ции f(x), то

Интегрирование по частям.

Если U,V – непрер. Диф-мы ф-ции на , то

Исследование на сходимость.

Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x) , тогда если и , то

сходится сходится

расходится пасходится

Предельный признак сравнения для НИ-1.

Т2: Пусть , ; , тогда если конечный , то и сходятся или расходятся одновременно.

При k=1 при

Т3: Если и сходится, то сходится.

Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .

Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся.

Главное значении.

Главным значением называется ; VP-Value principul

Если и сходится, то и

 

Билет 19.

Определение НИ-2.

f(x) определена на [a,b); ; , т.е.

называется НИ-2 и обозначается

Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1. }

1) Аддитивность

Если сходится, то , ;

2) Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то

 

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

 

Билет 22.

Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных.

Дифференциал.

; ;

;

Ф-ция называется диф-м в точке если ее полное приращение может быть представлено в виде , где , А,В – числа.

Теорема: Если диф в точке , то непрерывна в этой точке.

Док-во: -диф-ма в т.

;

- непрерывна в точке

Теорема (необходимое условие диф): Если диф в точке , то

Док-во: ; ;

 

Теорема (достаточное условие диф): Если имеет частные производные в некоторой окрестности т. , непрерывна в самой точке , то она диф. В точке .

Если дифф. В т. , то главная линейная, относительно приращения аргумента, часть его полного приращения называется полным диффиринциалом ф-ции в т.

;

; ;

 

Билет 23.

Диффиренцирование сложной ф-ции нескольких переменных.

; ;

Теорема: Если ф-ция дифф. В т. , а - дифф. в т. , то тогда будет дифф. в т. и

Док-во: ; ;

- дифф. в т. - непрерывны в т. , т.е. ;

дифф. в т.

;

; ; ;

;

;

- свойство инвариантности формы первого дифф.

 

Билет 39.

Условие независимости КРИ-2 от пути. Интегрирование полных дифференциалов.

Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:

1) , где L – любой замкнутый контур Д.

2) не зависит от пути AB.

3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \

4) dP/dy=dQ/dx в области Д.

Доказательство:

где .

Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.

 

Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.

Первый способ:

U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy

 

Второй способ: ;

{ ; };

не зависит от пути.

 

Билет 40.

Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени.

M (x,y,z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x,y,z) i + Q (x,y,z) j + R(x,y,z) k

1) ; 2)

3) ; 4)

5)

ПОВИ-2 есть поток жидкости (поток векторного поля a(M)) через ориентированную поверхность .

 

Скалярная форма ПОВИ-2. ; ПОВИ-1 для ;

ПОВИ-2 для P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) x,y,z-пректируемое

E, F(x,y,z)=0; x=x(y,z); y=y(x,z): z=z(x,y)

Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность более чем в одной точке, то пов-ть следует разбить на несколько пов-тей и воспользоваться свойством аддитивности ПОВИ-2.

- ПОВИ-2

 

Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P,Q,R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство:

ПОВИ-2 берется по внешней стороне пов-ти , ограниченной областью V.

Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.

 

Билет 41.

Формула Стокса.

Пусть гладкая xyz-проетируемая ориентированная поверхность ограничена кусочно гладким контуром и пусть в некоторой 3х мерной области, содержащей в себе поверхность , ф-ции P,Q,R и их частные проихводные непрерывны, тогда справедливо следующее: ,

где направление обхода контура осуществляется в положительном направлении.

Если граница состоит из нескольких контуров, то формула Стокса остается в силе. При этом в левой части надо написать сумму интегралов по всем контурам, пробегаемым в положительном направлении.

Для вычисления интегралов по замкнутому контуру можно выбрать любую поверхность , ограниченную контуром . Разумно выбирать поверхность простого вида.

Условие независимости КРИ-2 от пути интегрирования.

3х мерная область V называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура , лежащего в V внутри V найдется поверхность, ограниченная .

и их частные производные 1го порядка непрерывны в некоторой замкнутой ограниченной поверхностью односвязной области V, то след. 4 условия эквивалентны:

1) любого замкнутого кусочногладкого контура -

2) не зависит от пути соединения точек А и В.

3) полный диф-л, где

4)

 

Билет 28.

Условный экстремум ф-ции нескольких переменных.

Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.

; x+y-1=0;

(*)

; ; ;

Метод множителя Ла-Гранджа.

(*) эквивалентна задаче: , где

-множитель Ла-Гранджа; - функция Ла-Гранджа.

Надо исследовать ф-ции Ла-Гранджа с учетом условия связи в диффиринциалах.

Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области.

Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.

 

Билет 29.

Интегралы по фигуре от скалярной ф-ции.

Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству.

Под геометрической фигурой понимается одно из следующих связных (включая границу) множеств точек (см. таблицу).

Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками.

Под мерой фигуры Ф понимается следующее (см. таблицу).

 

 

Если он существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по фигуре Ф от скалярной ф-ции Ф(Р) и обозначается

Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.

 

Билет 30.

Свойства интегралов по фигуре от скалярной ф-ции.

1).

2).

3).

4).

; - длина линии L; ; ;

5). Если то

6). Если , то

7). Если , то

8). Теорема о среднем: Если f(p) непрерывна на фигуре Ф, причем Ф – ограничена о содержит граничные точки, то

Геометрические и физические прилажения интегралов по фигуое от скалярной ф-ции.

- материальная фигура

- плотность материальной йигуры Ф