Теор.(необход.усл.экстремума).
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Билет 1. Комплексные числа. Комлексным числом Z наз. число z=x+iy, где x, y Мн-во Расстояние от z(x,y) до начала корд. наз. модулем комп. числа Z. Argz = argz (главное знач аргумента) + 2 - argz = z = x+iy=zcos z=r(cos z1 = r1(cos z2 = r2(cos z1*z2 = r1*r2(cos( zn = rn(cos(n
Формулы Эйлера:
Билет 20. Предел функции нескольких переменных. Опр. т. А наз. пределом посл-ти (Mn) если (x1, x2, …,xm)-независимые переменные. Опр по Коши: число b наз пределом ф-ии u=f(M) в т. А (при Опр по Гейне: число b наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M) в т. А, если для любого (Mn),
Теор. Если сущ. Опр. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если M(x1, x2, …,xn) Опр2. u=f(M) наз. непрерывной в т. А, если Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии. (24) Геометр. смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
z0=z0+A(x-x0)+B(y-y0); z0-z=A(x-x0)+B(y-y0); z0-z=fx‘(x0,y0)(x-x0)+fy‘(x0,y0)(y-y0)-ур-ние касательн. плоскости в поверхности. z=f(x,y) (x0,y0,z0). Нормалью к поверхн. в данной точке М0(x0,y0,z0) назыв. прямая, проходящая через эту точку перпенд. к касат. (x-x0)/fx‘(x0,y0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0)=(z-z0)/(-1) – ур-ние нормали (x-x0)/fx‘(x0,y0,z0)=(y-y0)/fy‘(x0,y0,z0)=(z-z0)/fz‘(x0,y0,z0)
Билет 2. Многочлены. Многочлен (полином) относительно переменной z - это
2z4-5z3+2z=(z2-1)(2 z2-5z+2)+(-3z-2) Qm(z) Tk(z) Rc(z) Значит Pn(z) = Qm(z) Tk(z) + Rc(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n; Если Rc(z) = 0, то Pn(z) делится на Qm(z). Назовем компл. число z1 корнем многочл. Pn(z), если Pn(z1). Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени Pn(z) делится на двучлен z-z1, тогда и только тогда, когда z1 является корнем Pn(z). Запишем (*) для Pn(z) и z-z1: Pn(z) = (z-z1)Tn-1(z)+ Rc(z) => z:=z1. Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен Pn(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень. Компл. число z1 наз. корнем кратности к1 многочл. Pn(z), если Pn(z) = (z-z1)к1Тn-k1(z) Следствие: Многочл. Pn(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности: Pn(z) = an(z-z1)к1(z-z2)к2… Пусть z1 – корень Pn(z) с действ. коэф-ми, тогда Pn( Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами. (z-z1)(z- Pn(x) – с действ. коэф. Pn(x)=an(x-x1)k1(x-x2)k2*…*(x-xl)kl(x2+p1x+q1)R1(x2+p2x+q2)R2*…*(x2+pmx+qm)Rm x1, x2,…,xn – действ. корни k1, k2,…,kn – их кратности P1, P2,…,Pn, q1, q2,…,qn – действ. числа k1+k2+…+kl+2R1+2R2+…+2Rm = n
Билет 33. Замена переменной в двойном интеграле.
Свойства 1) x(u,v), y(u,v) – взаимно однозначны 2) x(u,v), y(u,v) – непрерывные, непр. частн. пр-е 1-го порядка 3)
P1: x(u,v), y(u,v) P2: x(u+∆u,v), y(u+∆u,v) I – Якобиан(Якоби) Модуль I – коэффициет растяжения площади в т. с координатами u и v при отображении D на D’. Вычисление в полярной сист координат.
a)
c)
Билет 38. Формула Грина. Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя. Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D. Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей. Например: круг, прямоугольник, кольцо. Теор. Грина: пусть P(x,y), Q(x,y) и
где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении. Док-во Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках. Для I2 – аналогично. Формула Грина имеет место для любой простой области. Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».
3) Рациональные дроби. Опр. n>=m – дробь неправильная; n<m – правильная. Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей. Если z1, z2,…, zl – разл. компл. корни k1, k2,…, kl – их кратности то сущ. Такие компл. числа Aik, где i=1,2,…,l; k=1,2,…,ki, то тогда Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф. Пусть x1, x2,…, xl – разл. компл. корни k1, k2,…, kl – их кратности pi2-4qi<0 для i=1…s R1, R2,…,Rs – кратности пар корней, тогда +Метод неопределенных коэффициентов + Метод частных значений
Билет 8. Интегрирование тригонометрических функций. tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.
Специальная тригоном. подстановка: 1) R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t; 2) R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t; 3) R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t; Интегралы вида: I. m,n 1) Одно из чисел m, n – нечетное, тогда sinx=t,cosx=t; 2) Оба нечетные или четные - II. m,n это дифференц. Бином
Универсальная подстановка – th(x/2) = t, и так далее…
Билет 9. Интегрирование иррациональных функций.
m,n,p 1) p 2) 3) Во всех остальных случаях интеграл не выражается, т. е. является не берущимся.
Билет 15. Вычисление площадей плоских фигур. 1)
x=a,x=b; отр [a,b] оси оХ
2)
разбиваем: 3) В полярной системе координат
Билет 18. Определение НИ-1. Пусть f(x) определена на Пусть Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.
Свойтсва НИ-1. 1) Аддитивность Если 2) Линейность Если Вычисление и преобразование НИ-1. Формула Нбютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на Интегрирование по частям. Если U,V – непрер. Диф-мы ф-ции на Исследование на сходимость. Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x)
сходится расходится Предельный признак сравнения для НИ-1. Т2: Пусть При k=1 Т3: Если Определение: Если Главное значении. Главным значением Если
Билет 19. Определение НИ-2. f(x) определена на [a,b);
Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что Свойства НИ-2. {Аналогично НИ-1. } 1) Аддитивность Если 2) Линейность Если Вычисление и преобразование НИ-2. Формула Ньютона-Лейбница. f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная. Интегрирование по частям. Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a,b), то
Исследование на сходимость. {Аналогично НИ-1.} Главное значении НИ-2. f(x) определено на Определение:
Билет 22. Дифференцируемость ф-ций нескольких переменных. Дифференциал.
Ф-ция Теорема: Если Док-во:
Теорема (необходимое условие диф): Если Док-во:
Теорема (достаточное условие диф): Если Если
Билет 23. Диффиренцирование сложной ф-ции нескольких переменных.
Теорема: Если ф-ция Док-во:
Билет 39. Условие независимости КРИ-2 от пути. Интегрирование полных дифференциалов. Пусть ф-ции P(x,y),Q(x,y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны: 1) 2) 3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \ 4) dP/dy=dQ/dx в области Д. Доказательство: где Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.
Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу. Первый способ: U(x,y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy
Второй способ: {
Билет 40. Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени. M (x,y,z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x,y,z) i + Q (x,y,z) j + R(x,y,z) k 1) 3) 5) ПОВИ-2 есть поток жидкости (поток векторного поля a(M)) через ориентированную поверхность
Скалярная форма ПОВИ-2. ПОВИ-2 для P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) x,y,z-пректируемое E, F(x,y,z)=0; x=x(y,z); y=y(x,z): z=z(x,y)
Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность
Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P,Q,R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство: ПОВИ-2 берется по внешней стороне пов-ти Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.
Билет 41. Формула Стокса. Пусть гладкая xyz-проетируемая ориентированная поверхность
где направление обхода контура Если граница Для вычисления интегралов по замкнутому контуру Условие независимости КРИ-2 от пути интегрирования. 3х мерная область V называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура
1) 2) 3) 4)
Билет 28. Условный экстремум ф-ции нескольких переменных. Найти экстремум z, при ксловии, что x и y связаны следующим образом.
Метод множителя Ла-Гранджа. (*) эквивалентна задаче:
Надо исследовать Наибольшее и наименьшее значение ф-ции в замкнутой области. Если ф-я определена в замкнутой ограниченной области Д, то она достигает своего min и max значения, либо в стационарных точках внутри области, либо на ее границе.
Билет 29. Интегралы по фигуре от скалярной ф-ции. Множество называется связанным, если любые 2 из них можно соединить линией, все точки которой принадлежат данному множеству. Под геометрической фигурой Диаметром d фигуры Ф называется максимальное расстояние между двумя ее точками. Под мерой
Теорема: Если на связной, ограниченной и содержащей граничные точки фигуре Ф скалярная ф-ция f(P) непрерывна, то интеграл по фигуре Ф существует.
Билет 30. Свойства интегралов по фигуре от скалярной ф-ции. 1). 2). 3). 4).
5). Если 6). Если 7). Если 8). Теорема о среднем: Если f(p) непрерывна на фигуре Ф, причем Ф – ограничена о содержит граничные точки, то Геометрические и физические прилажения интегралов по фигуое от скалярной ф-ции.
| ||||||||||||||||||||||||||
|
|