Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M0 и т.M0 – стационар.т., u=f(M) (df(M0)=0), тогда если для любых dx1,dx2,..dxn не равных одновременно 0: d2f(M0)>0, то т.M0-т.лок.min; d2f(M0)<0, то т.M0-т.лок.max; Д-во: f(M)=f(M0)+df(M0)/1!+d2f(N)/2!. ∆f(M0)=f(M)-f(M0)=df(M0)+d2f(N)/2!. u=f(M) – дважды непр. дифф. d2f(M0)>0→d2f(N)>0; d2f(M0)<0→d2f(N)<0;→ ∆f(M0)>0→ M0 – т.лок. min; M0 – т.лок. max;
1) 2) d2f(M0)<0↔a11<0, Если d2f(M0) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M0 экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму Q(dx1,dx2,..dxn)>0 то полож.опр. Q(dx1,dx2,..dxn)≥0 то казизнакополож.опр х12+2х12х22+х22+(х1+х1)2≥0; х1=-х2.
Билет 12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл вида Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= Док-во:
т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д. Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела. Док-во: (
Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x) Ф(х)=F(х)+С0
0=Ф(a)=F(а)+С0 => С0 = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а) Ф(b)=F(b)-F(а)
Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.
Билет 13. Замена переменных в определенном интеграле.
Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=j(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=j(x) Е(j). Тогда Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f(j(x)) j¢(х) имеет первообр. F(j (x))
Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=j(t) непрер. диф-ма на (a,b); j¢(t)>0 (=> возрастает) (j¢(t)<0); j(a)=a; j(b)=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда
Док-во: g(t)=f(j(t)) j¢(t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(j-1(x)) (сущ-ние j-1(x) гарантировано монотонностью: j-1(x)>0 (<0));
Билет 10 Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции. y=f(t), кот определ на [a,b]. а<b, τn={x0, x1, x2,..,xn |a=x0<x1...<xn=b|} Δxk=xk-xk-1-длина отр.[xk-1,xk], к=1,n. λ=max ∆xk – диаметр разбиения 1≤k≤n k? [xk-1,xk], k=1,n, σn=f(ε1)Δx1+ f(ε2)Δx2+..+f(εn)Δxn=∑f(εk)Δxk Интегральн.сумма. Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τn [a,b] и выбора промежуточных точек εk то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).
R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b]. Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных. Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.
AB; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр. Ограниченность ∫-ой ф-ции. 1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x)? R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х?[a,b]. Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τn найдется часть от k [xk-1,xk] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать εk?[xk-1,xk], таким обр, чтобы |f(εk)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного limx→0 Ssn
Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным. ì 1, х – рацион. D(x)= î 0, х – иррац. D(x) – огр. на [0,1]
εk-ирррац
D(x) – не инт. по Р., но она огр. Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр. Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b] Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода. Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …
Билет 11 Св-ва опред. ин-ла. 1. 2. 3. 4. f(x)ÎR [a,b]; = 5. f(x), g(x) Î R [a,b], то f(x)+g(x) Î R [a,b]; 6. (аддитивность опред. ин-ла) " a, b, c 7. Если f(x"хÎ[a,b], то 8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)ÎR [a,b], f(x)£g(x) "xÎ[a,b], то Док-во: g(x) – f(x)³0 "xÎ[a,b], 0£ 9. Если f(x)ÎR [a,b], то |f(x)|ÎR [a,b] | 10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a)£ m£f(x)£M; "xÎ[a,b] m m(b-a)£ 11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то $ т. xÎ[a,b], что выполн. рав-во Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; "xÎ[a,b] m£f(x)£M; иссл. оценку ин-ла: m(b-a)£ : (b-a) m£( найдется такая x, что f(x)=l,xÎ[a,b] =>
Билет 6. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует На Х существует
Док-во: d(uv)=vdu+udv;
Билет Интегрирование рациональных функций.
Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей. Типы дробей: 1) 1) 2) 3)
4)
Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.
Билет 37. КРИ-2 Механический смысл КРИ-2:
!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L. Скалярная форма КРИ-2 Вычисление КРИ-2
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|