Теор.(Дост. усл. сущ. т. лок. экстр.)

Пусть u=f(u) дважды непр. дифф. в некот. окр.т.M₀ и т.M₀ – стационар.т., u=f(M) (df(M₀)=0), тогда если для любых dx₁,dx₂,..dx_n не равных одновременно 0:

d²f(M₀)>0, то т.M₀-т.лок.min; d²f(M₀)<0, то т.M₀-т.лок.max;

Д-во: f(M)=f(M₀)+df(M₀)/1!+d²f(N)/2!.

∆f(M₀)=f(M)-f(M₀)=df(M₀)+d²f(N)/2!.

u=f(M) – дважды непр. дифф.

d²f(M₀)>0→d²f(N)>0; d²f(M₀)<0→d²f(N)<0;→ ∆f(M₀)>0→

M₀ – т.лок. min; M₀ – т.лок. max;

1)
d²f(M₀)>0↔a₁₁>0,

2) d²f(M₀)<0↔a₁₁<0,

Если d²f(M₀) представляет собой закономерную квадрат. форму, то в т. M₀ экстремума не будет. Если 2-ой дифф. представляет собой квадр. форму

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)>0 то полож.опр.

Q(dx₁,dx₂,..dx_n)≥0 то казизнакополож.опр

х₁²+2х₁²х₂²+х₂²+(х₁+х₁)²≥0; х₁=-х₂.

 

Билет 12.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.

Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]

Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f() х, где [х, х+ х].

Ф(х)=f() х.

х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.

т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.

Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt явл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)¢=f(x)

Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.

Док-во: Ф(х)=f() х, где [х, х+ х]

( f(t)dt)¢=Ф¢ (x)=lim _{х 0} Ф(х)/ х= lim _{х 0} f() х/ х= lim _{х 0} f() (тогда х) =f(x) ч.т.д

f(х)dх= f(t)dt+С

Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х)=F(х)+С₀

f(t)dt=0

0=Ф(a)=F(а)+С₀ => С₀ = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)

Ф(b)=F(b)-F(а)

f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница

Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.

 

Билет 13.

Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=j(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=j(x) Е(j).

Тогда f(j(x)) j¢(х)dx= f(u)du

Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f(j(x)) j¢(х) имеет первообр. F(j (x))

f(j(x)) j¢(х)dx= F(j (x)) |^b_a= F(j (b)) - F(j (a)); f(u)du=F(u) |^j(b)_j(a)= F(j (b)) - F(j (a)) ч.т.д.

Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=j(t) непрер. диф-ма на (a,b); j¢(t)>0 (=> возрастает) (j¢(t)<0); j(a)=a; j(b)=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда

f(х)dх= f(j(t)) j¢(t)dt

Док-во: g(t)=f(j(t)) j¢(t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a,b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(j^-1(x)) (сущ-ние j^-1(x) гарантировано монотонностью: j^-1(x)>0 (<0)); f(j(t)) j¢(t)dt= G(t) |^b_a=G(b) – G(a)

f(х)dх=G(j^-1(x)) |^b_a=G(j^-1(b)) - G(j^-1(a))= G(b) - G(a) ч.т.д.

Билет 10

Понятие определенного интеграла и его геометрический смысл. Ограниченность интегрируемой функции. Основные классы интегрируемые функции.

y=f(t), кот определ на [a,b].

а<b, τ_n={x₀, x₁, x₂,..,x_n |a=x₀<x_1...<x_n=b|}

Δx_k=x_k-x_k-1-длина отр.[x_k-1,x_k], к=1,n.

λ=max ∆x_k – диаметр разбиения 1≤k≤n

k? [x_k-1,x_k], k=1,n,

σ_n=f(ε₁)Δx₁+ f(ε₂)Δx₂+..+f(ε_n)Δx_n=∑f(ε_k)Δx_k Интегральн.сумма.

Опр:если сущ. конечн.предел инег.суммы Р, при λ→0 независящ. от способа разбиения τ_n [a,b] и выбора промежуточных точек ε_k то этот предел – опред.интеграл (Р) на [а,b] от y=f(x).

Если этот lim сущ, то y=f(x) интегрируемая по Риману на [a,b].

R[a,b]- класс всех ф-ций интегр. на [a,b].

Опр. интег.-это число; неопр.интег.-совокупность всех первообразных.

Геометр. смысл ОИ. y=f(x) неприрывна на [a,b]. f(x)≥0.

AB; x=a; x=b; [a,b] –криволин.интегр.

Ограниченность ∫-ой ф-ции.

1.(необход.условие ∫-ти ф-ции). Если y=f(x) ∫-ма по Риману то она ограничена. f(x)? R[a,b] →сущ.М>0, |f(x)|≤M, для любых х?[a,b].

Д-во: предположим, что f(x) не огран. на [a,b] тогда при люб. разбиении τ_n найдется часть от k [x_k-1,x_k] на котором f(x) не ограничена. В этом случае можно выбрать ε_k?[x_k-1,x_k], таким обр, чтобы |f(ε_k)|>любого наперед заданного положит. числа, а это означ., что не сущ-ет конечного lim_x→0 Ss_n

Следствия: если ф-ция неогр. то на неинтегрируема на [a,b]; огранниченность явл. лишь необход. условием инт-сти, но не достаточным.

ì 1, х – рацион.

D(x)= î 0, х – иррац.

D(x) – огр. на [0,1]

ε_k-рац.

 

ε_k-ирррац

 

 

D(x) – не инт. по Р., но она огр.

Теорема 1: f(x) непр. [a,b], то она явл. интегр.

Теорема 2: f(x) кусочно-непрер. на [a,b]

Ф-ция f(x) явл. кусочно-непрер. на [a,b], если она огранич. и непрер. на отр. [a,b] всюду, кроме конечн. числа точек разрыва 1-го рода.

Теорема 3: Ф-ция f(x) монотонная на [a,b] интегр. на [a,b] …

 

Билет 11

Св-ва опред. ин-ла.

1. f(х)dх=0

2. dх=b – a; f(x)º1

3. f(х)dх= - f(х)dх

4. f(x)ÎR [a,b]; C f(х)dх=C f(х)dх=

=

5. f(x), g(x) Î R [a,b], то f(x)+g(x) Î R [a,b]; (f(х)+g(x))dх= f(х)dх+ g(х)dх

6. (аддитивность опред. ин-ла)

" a, b, c f(х)dх= f(х)dх+ f(х)dх

7. Если f(x"хÎ[a,b], то f(х)dх³0, a>b f(х)dх=

8. Монотонность опред. инт.: Если f(x), g(x)ÎR [a,b], f(x)£g(x) "xÎ[a,b], то f(х)dх< g(х)dх, a<b

Док-во: g(x) – f(x)³0 "xÎ[a,b], 0£ (g(x) – f(x))dx= g(х)dх - f(х)dх

9. Если f(x)ÎR [a,b], то |f(x)|ÎR [a,b]

| f(х)dх |£ |f(х)|dх

10. (Оценки опред. инт.): Если m и M – наимен. и наибол. зн. f(x) на [a,b], то m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a)

m£f(x)£M; "xÎ[a,b]

m dх £ f(х)dх£M dх

m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a), a<b

11. Теорема о среднем: Если f(x) непр. на [a,b], то $ т. xÎ[a,b], что выполн. рав-во f(х)dх=f(x)(b-a)

Док-во: f(x) непр. на [a,b], m – min зн. f(x) на [a,b], M – max; "xÎ[a,b] m£f(x)£M; иссл. оценку ин-ла:

m(b-a)£ f(х)dх£M(b-a), b-a>0

: (b-a) m£( f(х)dх) / (b-a))£M; l::= f(х)dх) / (b-a)

найдется такая x, что f(x)=l,xÎ[a,b] => f(х)dх=f(x)(b-a) ч.т.д.

 

 

Билет 6.

Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.

Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда

На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или

;

Док-во:

d(uv)=vdu+udv;

 

Билет Интегрирование рациональных функций.

 

Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.

Типы дробей:

1) , 2) ,3) ,4)

1)

2)

3)

 

4)

 

- рекуррентная формула

 

Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.

 

 

Билет 37.

КРИ-2

Механический смысл КРИ-2:

(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. () – постоянная сила. =( (), )=( (), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.

Скалярная форма КРИ-2

Вычисление КРИ-2

,

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: