Теплопроводность. Уравнение теплопроводности
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Теплопроводность - это один из видов теплопередачи. Передача тепла может осуществляться с помощью различных механизмов. Все тела излучают электромагнитные волны. При комнатной температуре это в основном излучение инфракрасного диапазона. Так происходит лучистый теплообмен. При наличии поля тяжести еще одним механизмом теплопередачи в текучих средах может служить конвекция. Если к сосуду, содержащему жидкость или газ, тепло подводится через днище, в первую очередь прогреваются нижние порции вещества, их плотность уменьшается, они всплывают вверх и отдают часть полученного тепла верхним слоям. При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией. В нашем курсе будет рассматриваться передача теплоты путем теплопроводности.
где коэффициент пропорциональности k зависит от материала стенки. При Т 1 > Т 2 тепло переносится в положительном направлении оси х, при Т 1 < Т 2 – в отрицательном. Направление распространения тепла можно учесть, если в уравнении (23.1) заменить (Т 1 - Т 2)/ l на (- dT / dx). В одномерном случае производная dT / dx представляет собой градиент температуры. Напомним, что градиент – это вектор, направление которого совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания скалярной функции координат (в нашем случае Т), а модуль равен отношению приращения функции при малом смещении в этом направлении к расстоянию, на котором это приращение произошло.
Чтобы придать уравнениям, описывающим перенос тепла, более общий и универсальный вид, ведем в рассмотрение плотность потока тепла j - количество тепла, переносимое через единицу площади в единицу времени
Тогда соотношение (23.1) можно записать в виде
Здесь знак «минус» отражает тот факт, что направление теплового потока противоположно направлению градиента температуры (направлению ее возрастания). Таким образом, плотность потока тепла является векторной величиной. Вектор плотности потока тепла направлен в сторону уменьшения температуры. Если температура среды зависит от всех трех координат, то соотношение (23.3) принимает вид
где Соотношения (23.3) и (23.4) представляют основной закон теплопроводности (закон Фурье): плотность потока тепла пропорциональна градиенту температуры. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом теплопроводности (или просто теплопроводностью). Т.к. размерность плотности потока тепла [ j ] = Дж/(м2с), а градиента температуры [ dT/dx ] = К/м, то размерность коэффициента теплопроводности [k] = Дж/(м×с×К). В общем случае температура в различных точках неравномерно нагретого вещества меняется с течением времени. Рассмотрим одномерный случай, когда температура зависит только от одной пространственной координаты х и времени t,и получим уравнение теплопроводности - дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция T = T (x, t).
Заменяя отношения малых приращений соответствующими производными, придем к соотношению
Подставим в формулу (23.5) выражение (23.3) для плотности потока тепла
Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности. Если среда однородна, и теплопроводность k не зависит от температуры, уравнение принимает вид
или
где постоянная Уравнениям (23.6) – (23.8) удовлетворяет бесчисленное множество функций T = T (x, t). Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Начальное условие состоит в задании распределения температуры в среде Т (х,0) в начальный момент времени t = 0. Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на границах. Чаще всего встречаются ситуации, когда на границах заданы температура или плотность потока тепла как функции времени. В ряде случаев в среде могут оказаться источники тепла. Теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока, химических или ядерных реакций. Наличие источников тепла можно учесть введением объемной плотности энерговыделения q (x, y, z), равной количеству теплоты, выделяемому источниками в единице объема среды за единицу времени. В этом случае в правой части уравнения (23.5) появится слагаемое q:
В соответствии с этим изменятся и остальные уравнения.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|