Формула интегрирования по частям
Пусть u (x) и v (x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv) ¢ = u¢v + v¢u Отсюда следует ò (uv) ¢dx = ò (u¢v + v¢u) dx = ò u¢v dx + ò v¢u dx или ò uv¢ dx = uv – ò u¢v dx. Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: ò u (x) dv (x) = u (x) v (x) – ò v (x) du (x) Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям. Примеры. 1. I = ò x cos x dx. Пусть u = x; dv = cos x dx, тогда du = dx; v = sin x. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C. 2. I = ò (x2 – 3 x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3 x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2 x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2 dx;
3.
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
Представим дробь с решением
Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.
Определенный интеграл Пусть на промежутке [ a; b ] задана функция f (x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [ a; b ] произвольные числа x 1, x 2, x 3, ¼, xn -1, удовлетворяющие условию:
Введем обозначения:D x 1 = x 1 – a; D x 2 = x 2 – x 1; ¼ D xn = b – xn- 1. Составим сумму:
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 19. Введем обозначение: l = max(D xi), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l иногда называют параметром разбиения. Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом от функции
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [ a; b ] и выбора точек ci.
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [ a; b ] функции f (x), отрезком [ a; b ] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 20 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
Если f (x) < 0 во всех точках промежутка [ a; b ] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 21), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [ a; b ] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f (x), определяется формулой
Перечислим свойства определенного интеграла: 1) 2) 3) 4) Если cÎ [ a; b ], то Из этих свойств следует, например, что
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ [ a; b ]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 22. В этом случае верны равенства
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|