 |
Практические задачи, приводящие к исследованию линейной функции
|
|
|
|
Задача 1.
Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?
Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:
х 60 - х
A_____________________________ B
АС = х
ВС = 60 - х
Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].
Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.
Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.
Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, у min = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.
Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:
а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;
б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;
в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;
Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:
а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;
б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;
в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.
Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.
|
|
|
Задача 2.
На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?
Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение
7х + 5у = 167
Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:
Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.
(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).
Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.
Задача 3.
Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.
Таблица
| Затраты на одно изделие | А | В | Ресурсы | |
| Материалы | Сталь (кг) | 10 | 70 | 320 |
| Материалы | Цветные металлы (кг) | 20 | 50 | 420 |
| Оборудование | Токарные станки (станко-ч) | 300 | 400 | 6200 |
| Оборудование | Фрезерные станки (станко-ч) | 200 | 100 | 3400 |
| Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.) | 3 | 8 | ||
Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.
Решение.
Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то
|
|
|
10х +70у £ 320
20х + 50у £ 420
(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:
300х + 400 £ 6200
Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:
200х +100у = 3400
Итак, система ограничений этой задачи есть:
10х + 70у £ 320
20х + 50у £ 420
300х + 400у £ 6200 (1)
200х + 100у = 3400
х £ 0, у £ 0.
Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией
F = 3х + 8у. (2)
Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:
х +7(34 –2х) £ 32
2х + 5(34 – 2х) £ 42
3х + 4(43 – 2х) £ 62
у = 43 – 2х (3)
х ³ 0
34 – 2х ³ 0,
F = 3х + 8(34 – 2х) = -13+272 (4)
Преобразуем систему ограничений (3):
11
13х ³ 206 х³ 5 13
8х ³ 218 х ³ 16
4
5х ³ 174 х £ 4 5
16 £ х £ 17
5х ³ 74 Û 0 £ х £ 17 Û
у = 34 – 2х
0 £ х £ 17
у =34 - 2х у = 34 – 2х
|
|
|
Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.
Fнаиб = 272 – 13 * 16 – 64 (тыс. руб.)
Отдельно следует остановиться на случаях использования ЭВМ при решении задач оптимизации. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи:
Задача 4.
В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для
изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:
· 1 детали длиной 3 м.
· 2-х деталей длиной 2 м.
· 1 детали длиной 1.5 м
Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?
Решение.
Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц EXCEL
Вводим в ячейки B3:D10 варианты возможного распила одной доски. В ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество досок по одной. В ячейках F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.
| Способы | 3м | 2м | 1,5м | Количество | 3м | 2м | 1,5м |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 5 | 1 | 0 | 0 | 5 |
| 4 | 1 | 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 |
| 5 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 |
| 6 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 2 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 | 3 |
| 8 | 5 | 9 | 16 | ||||
| 1 | |||||||
| 23 | |||||||
| 11 |
В ячейках E11:H11 суммируем количество досок и деталей.
Вводим формулы:
G11 - ABS(2*F11-G11)
G12 - ABS(G11-2*H11)
G13 - ABS(F11-H11)
Входим во встроенную функцию EXCEL Поиск Решения
Устанавливаем Целевую ячейку E11
Ставим ограничения:
E3:E10=>0
E3:E10= ЦЕЛЫЕ
G12<=1
G13<=1
G14<=1
Даем команду Выполнить
Машина выдает разультаты
| Способы | 3м | 2м | 1,5м | Количество | 3м | 2м | 1,5м |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 34 | 68 | 0 | 34 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 33 | 0 | 99 | 33 |
| 3 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 2 | 0 | 47 | 47 | 94 | 0 |
| 6 | 0 | 2 | 2 | 24 | 0 | 48 | 48 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 12 | 12 | 12 | 12 |
| 8 | 0 | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 150 | 127 | 253 | 127 | ||||
| 1 | |||||||
| 1 | |||||||
Видно, что для полных 127 комплектов не хватает одной двухметровой детали.
То есть максимальное число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов.
Ответ: максимальное число комплектов – 126
|
|
|
3. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач
Задача 5.
Окно имеет форму прямоугольника,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м.Каковы должны быть размеры окна,чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
Решение.
Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью,если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.
Пусть AB=x, AD=y,тогда
P=AB+BC+AD+ DMC
P=x+2y+0,5 p x (1)
S=AB*BC+p x /8
S=xy+ x p/8 (2)
Из (1),(2) следует, что
S(x)=-(p/8 +1/2)x +3x
Известно,что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при
x =-b/2a,т.е. x =12/(p +4), y= 6/ (p +4).
Ответ.Размеры окна 6/(p +4),12/(p +4).
Задача 6.
На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение.
Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0 – начальный путь, ν0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время.
В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с,значит,S(t) = 300t – 5t2.
 |  | ||
Функция S(t) принимает наибольшее значение при
S(30)= 300*30-5*302 =4500(м)
Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.
Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.
Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.
В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах
Задача 7.
Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).
|
|
|
Составьте уравнение этой параболы.
Решение.
Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.
 | |  |
4 = c c = 4 c = 4,
Þ Þ
0 = 100a + c 100a = -4 a = - 0,04
Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.
|
|
|
