Системы обслуживания с пуассоновским распределением

ПОТОКИ СОБЫТИЙ

Потоком событий называется последовательность однородных собы­тий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Приме­ры: поток вызовов на телефонной станции, поток машин с товаром, по­ступающим на базу, поток покупателей и т.д.

Интенсивностью потока X называется среднее число событий, проис­ходящих в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Определение 1. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Определение 2. Потоком события без последействия называется по­ток, в котором заявки поступают в систему не зависимо друг от друга.

Определение 3. Поток событий называется ординарным, если только одно событие попадает на элементарный участок времени Δt, т.е. вероят­ность попадания на малый промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала.

Определение 4. Поток событий называется простейшим, если он ста­ционарен, ординарен и не имеет последействия. Этот поток называют так­же стационарным пуассоновским, так как для него с интенсивностью X на любой интервал Г между соседними событиями имеет показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

МОДЕЛИ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

В биологии с помощью схемы размножения и гибели описывают из­менение численности популяции. Процессы, протекающие в моделях теории массового обслуживания, также соответствуют этой схеме, т.е. данные модели строятся на основе экспоненциального распределения, которое задает интервал времени между рождениями и гибелью.

Процесс рождения и гибели есть случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Рассмотрим физическую систему X со счетным множеством состояний х₀, х₁, х₂,.., х_n (вершины графа) и связь между соседними состояниями пред­ставлена прямым и обратным переходом (дуги графа х_i, х_k) (рис. 11.1). Пе­реход системы из одного состояния в другой происходит скачком, в мо­мент, когда осуществляется какое-то событие (приход новой заявки, осво­бождение канала и т.д.).

Обозначим Р_k(х) — вероятность того, что в момент t система находит­ся в состоянии х_k.

В любой момент t выполняется условие:

(11.1)

 

Рис. 11.1

Рассматривая состояния х_k и предельные переходы из состояния в состояния и их вероятности, можно получить формулы [8]:

11.2

Выражения (11.1) и (11.2) позволяют решать простейшие задачи мас­сового обслуживания.

Формулы Литтла:

где:

Т_смо, Т_оч — среднее время пребывания заявки в СМО и очереди, со­ответственно; L_смо, L_оч — среднее количество заявок (число заявок при­ходящихся на единицу времени) находящихся в СМО и в очереди соот­ветственно;

λ — интенсивность потока заявок поступающих в систему.

Системы обслуживания с пуассоновским распределением

Рассмотрим схематически специализированную систему обслужива­ния пуассоновского типа, в которой параллельно функциональной п идентичных средств обслуживания. В систему поступает λ заявок в еди­ницу времени.

Число заявок, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

Рис. 11.2

Структура системы обслуживания (Рис. 11.2) определяется шестью параметрами в виде:

где:

а — тип распределения моментов времени поступления заявок в сис­тему;

b — тип распределения времени обслуживания;

с — количество параллельно работающих каналов;

d — вид дисциплины очереди;

е — максимальная емкость системы (количество заявок, находящихся в оче­реди и принятых на обслуживание);

f — емкость источника, генерирую­щего заявки.

Эти обозначения ввели Кендалл, Ли и Таха.

Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (параметры а и b) являются: М — марковское (пуассоновское, экспоненциальное) распределение моментов поступления заявок в систему либо их выхода из нее. Символы GD (параметр d, озна­чающий произвольный (общий) тип дисциплины очереди.

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: