Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния ко­торой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопреде­ленности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.

Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q].

Рассмотрим четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найдем средние ожидае­мые доходы Q_i и риски r_i, операций.

;                         ;

;            .

 

 

Q1:	0	1	2	8
	1/3	1/3	1/6	1/6

Q₁=0×¹/₃+1×¹/₃+2×¹/₆+8×¹/₆=2

M[Q₁²]= 0² ×¹/₃+1² ×¹/₃+2² ×¹/₆+8² ×¹/₆=11,7

D[Q₁]= 11,7-2²=7,7

r₁=2,77

 

Q2:	2	3	4	10
	1/3	1/3	1/6	1/6

Q₂=4

M[Q₂²]=23,7

D[Q₂]=7,7

r₂=2,77

 

Q3:	0	4	6	10
	1/5	1/5	1/5	2/5

Q₃=6

M[Q₃²]=50,4

D[Q₃]=14,4

r₃=3,8

 

Q4:	2	6	8	12
	1/5	1/5	1/5	2/5

Q₄=8

M[Q₄²]=78,4

D[Q₄]=14,4

r₄=3,8

 

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'<r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимально­сти по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо вы­бирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции применяют взвешивающую формулу j(Q_i)=2Q_i-r_i, которая для пар (Q,r) дает одно число, по кото­рому и определяют лучшую операцию.

j(Q₁)=2×2-2,8=1,2                   j(Q₂)=6,2

j(Q₃)=8,2                                 j(Q₄)=12,2

 

Наибольшее значение j соответствует лучшей операции, наименьшее – худшей. В нашем случае наилучшей является операция №4, худшей – операция №1.

 

 

Матричная игра 2х4

  Рассмотрим игру для двух лиц с нулевой суммой. Пусть П и В – первый и второй игроки соответственно, а матрица А – платежная матрица, каждый элемент которой по абсолютной величине является выигрышем/ проигрышем, уплачиваемым игроками друг другу в соответствии с их договоренностью. Цель игроков – максимизировать выигрыш. При этом предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что задача заключается в получении максимального выигрыша в среднем за партию. Каждый из игроков использует наилучшие для себя стратегии. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии, и смешанной, если выбор i-ой строки производится с некоторой вероятностью p_i.

 

Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей

В

П    ®

Седловой точки в чистых стратегиях нет.

В строках доминирования нет.

3-ий столбец доминирует над 1-ым.

Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока П - (х, 1-х), где

х – вероятность выбора первой строки

(1-х) – вероятность выбора второй строки

0 £ x £ 1

Пусть П играет в смешанных стратегиях, а В отвечает чистыми:

       n₁(х)= 2х-2(1-х)    (1)

       n₂(х)= -2х+(1-х)    (2)

n₄(х)= -5х+3(1-х) (4)

 

n₁(х)= 3х-2

       n₂(х)= -3х+1

n₄(х)= -8х+3

 

 

т. В(х*, n*)

т. В: n₁=n₄

       3х-2= -8х+3

        11х=5

       х*=⁵/₁₁

n(х*)=×¹⁵/₁₁-2= -⁷/₁₁

 

р*(⁵/₁₁; 1-⁵/₁₁)=р*(⁵/₁₁; ⁶/₁₁) – оптимальная смешанная стратегия для П

 

Ищем оптимальную смешанную стратегию для В.

q(y, 0, 0, 1-y)

p₁* = ⁵/₁₁>0

Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку.

-⁷/₁₁= 2y-5(1-y)

y*= ⁴⁸/₇₇

q*=(⁴⁸/₇₇, 0, 0, ²⁹/₇₇) – оптимальная смешанная стратегия В

 

123	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: