Упрощенное построение желаемой ЛАХ

Как указывалось в предисловии, для варианта h неплохие по степени соответствия исходным данным результаты дают упрощенные методики построения желаемой ЛАХ. Некоторые из них можно найти в [2]. При использовании этих методик рекомендуется при необходимости оценки значения фазы по ЛАХ применять формулу (5.4). Как и в случае использования описанных ранее методик, целесообразно дополнять упрощенную процедуру синтеза моделированием желаемой системы на ЭВМ.

Мы рекомендуем следующую упрощенную методику построения средне- и высокочастотной частей желаемой ЛАХ.

1. Определить частоту среза по формуле

в которой коэффициент определяется эмпирическим выражением

и является функцией перерегулирования , %: (эта формула аналитически аппроксимирует номограмму, приводимую в [2]).

2. Через точку на оси абсцисс с частотой провести среднечастотную асимптоту желаемой ЛАХ с коэффициентом наклона –20 дБ/дек, ограничив ее слева и справа частотами и Рекомендуется принять равным 4 или 2. после чего вычислить коэффициент по эмпирическим формулам

 

(для ) или

(для ).

Если левый конец среднечастотного участка оказался левее второй асимптоты низкочастотной части ЛАХ, то необходимо весь среднечастотный участок сдвинуть вправо (не изменяя длин его левого и правого плеч) – так, чтобы его левая граничная точка попала на вторую асимптоту низкочастотной части ЛАХ. Разумеется, частота среза при этом примет новое значение, отличное от рассчитанного ранее.

Если же левый конец среднечастотного участка оказался правее второй асимптоты, то следует через эту граничную точку провести новую вторую асимптоту параллельно исходной, а первую асимптоту низкочастотной части продолжить до пересечения со второй.

3. Через правую граничную точку среднечастотного участка провести вправо участок с коэффициентом наклона –40 дБ/дек, ограничив его частотой , после чего провести последний участок с коэффициентом наклона –60 дБ/дек.

После построения желаемой ЛАХ необходимо промоделировать на ЭВМ желаемую систему (введя единичную обратную связь!) по методике, описанной далее в разделе 6, выполнив приведенную там программу исследований. Наиболее важная задача моделирования – выяснить, не оказались ли показатели качества желаемой системы – значение М для варианта М и значения и для варианта h – хуже значений, указанных в задании.

В случае если значение окажется больше заданного, следует увеличить частоту среза ЛАХ. Если же значения М или превышают заданные, то надо увеличить протяженность среднечастотного участка ЛАХ, имеющего коэффициент наклона –20 дБ/дек, сдвинув вправо частоты и (в некоторых случаях может потребоваться также увеличение ). После этого необходимо повторить моделирование желаемой системы.

 

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ЖЕЛАЕМОЙ СИСТЕМЫ

Ввиду некоторой неточности существующих методов синтеза желаемой ЛАХ необходимо с помощью моделирования на ЭВМ определить, в какой степени в системе, имеющей полученную желаемую ЛАХ, выдерживаются указанные в задании требования к точности и динамическим свойствам. Это имеет смысл еще и потому, что свойства скорректированной системы всегда будут несколько отличаться от свойств желаемой системы. Если впоследствии выяснится, что свойства скорректированной системы отличаются от требуемых, то важно знать, вызвано это недостатками коррекции или ошибками еще на этапе синтеза желаемой ЛАХ.

Для моделирования можно использовать любое доступное стандартное программное обеспечение, например пакет MATLAB.

Подготовка к моделированию заключается в составлении структурной схемы следящей системы по желаемой ЛАХ системы. Удобно, например, представить передаточную функцию разомкнутой системы как произведение передач вида

, , .

Здесь – добротность по скорости, = (i = 1,..,4).

В результате моделирования необходимо определить:

а) переходную характеристику системы и по ней – значения перерегулирования и времени регулирования (для варианта h – сравнить их с заданными);

б) (для варианта M) амплитудную частотную характеристику или ЛАХ замкнутой системы и по ней – показатель колебательности (сравнить с заданным значением);

в) частотную характеристику замкнутой системы по ошибке; используя ее, необходимо рассчитать максимальное значение ошибки при отработке гармонического (вариант А) или эквивалентного гармонического (вариант Б) входного воздействия, имеющего указанные в задании числовые характеристики.

 

7. СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

7.1. Определение способа коррекции и структуры скорректированной системы

Как известно, могут применяться последовательные и параллельные (в виде прямой и обратной связей) корректирующие устройства, а также их различные сочетания. Следует проанализировать достоинства и недостатки каждого способа коррекции и по согласованию с преподавателем выбрать наиболее подходящий. Остановимся подробно в основном на синтезе параллельной коррекции, осуществляемой введением местной обратной связи. Как правило, в курсовой работе используется именно этот способ коррекции; исключение составляют редкие случаи неудачного сочетания параметров исходной системы и требований к желаемой системе.

Прежде всего, необходимо точно определить место включения корректирующего устройства. Для этого следует изучить возможность измерения переменной, по которой вводится обратная связь, а также определить место приложения сигнала обратной связи в прямом канале системы. Как правило, применяют обратную связь по угловой скорости вала двигателя, измеряемой с помощью тахогенератора. Коррекцию выполняют на постоянном токе, поэтому сигнал обратной связи следует подавать на предварительный усилитель, работающий на постоянном токе. Это может быть как уже имеющийся в схеме, так и специально введенный (для выполнения функций суммирования и усиления) операционный усилитель; обычно это второй из предварительных усилителей. В соответствии с изложенным обратная связь, осуществляющая параллельную коррекцию, состоит из тахогенератора и собственно корректирующего звена (часто бывает необходимо использовать еще и делитель напряжения), а охватываемая обратной связью часть системы включает в себя предварительный усилитель, усилитель мощности и исполнительный двигатель.

Для удобства дальнейшего изложения введем следующие обозначения. Передаточные функции и частотные характеристики охваченной части системы будем снабжать индексом «о», неохваченной части – индексом «но», обратной связи – «ОС», тахогенератора – «ТГ», собственно корректирующего звена – «КЗ». Для передаточных функций и частотных характеристик желаемой, нескорректированной и скорректированной систем (в разомкнутом состоянии) будем использовать соответственно индексы «ж», «нс» и «ск».

7.2. Аналитический синтез корректирующего устройства

Если применяется последовательная коррекция, то передаточная функция скорректированной системы

, (7.1)

где – передаточная функция последовательного корректирующего устройства. Поскольку требуется, чтобы , то согласно выражению (7.1) может быть найдена как

, (7.2)

где передаточная функция должна быть записана по желаемой ЛАХ. Чтобы выражение, найденное по формуле (7.2), соответствовало физически реализуемому звену, степень числителя передаточной функции не должна превосходить степени знаменателя. Для этого наклоны ВЧ-асимптот ЛАХ нескорректированной и желаемой систем должны быть одинаковы.

При параллельной коррекции

(7.3)

Из сравнения (7.2) и (7.3) следует, что

(7.4)

Однако обратная связь с такой передаточной функцией окажется физически нереализуемой. Поэтому передаточная функция, найденная по формуле (7.4), должна быть заменена близким выражением, имеющим по крайней мере одинаковые степени полиномов числителя и знаменателя. Этого можно добиться, введя в выражение для дополнительные апериодические звенья с малыми постоянными времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, лежащие в высокочастотной области.

7.3. Графический синтез корректирующего устройства

Настоятельно рекомендуем при выполнении курсовой работы использовать именно этот способ, получивший наиболее широкое распространение.

Для нахождения ЛАХ последовательного корректирующего устройства в соответствии с выражением (7.2) необходимо из желаемой ЛАХ вычесть ЛАХ нескорректированной системы.

Синтез параллельной коррекции представляет собой процедуру перехода от ЛАХ последовательного корректирующего устройства (полученной указанным выше способом) к ЛАХ корректирующей обратной связи . Для обеспечения реализуемости последней необходимо добиться, чтобы в существенном диапазоне частот, включающем в себя НЧ- и СЧ-части ЛАХ, выполнялось условие . Тогда из (7.3) следует, что , откуда с учетом (7.1) получаем формулу перехода от последовательного корректирующего устройства к параллельному: . Следовательно, для ЛАХ имеем:

, (7.5)

т. е. приближенная методика построения ЛАХ корректирующей обратной связи состоит в следующем: строят ЛАХ охваченной части , графически складывают ее с построенной ранее ЛАХ эквивалентного последовательного корректирующего устройства и полученный график зеркально отображают относительно оси частот. Построенная таким образом ЛАХ будет эквивалентна ЛАХ последовательного корректирующего устройства лишь в существенном диапазоне частот, где выполняется приведенное выше неравенство.

Обычно указанное неравенство без принятия специальных мер выполняется для сравнительно неширокого диапазона частот. Его можно практически определить как область, где ЛАХ лежит выше горизонтальной прямой, проведенной на уровне 12...16 дБ. Однако, учитывая, что определяется выражением (7.5), удобнее этот диапазон находить как интервал частот, в котором ЛАХ последовательного корректирующего звена лежит ниже горизонтальной прямой, проведенной на уровне –(12...16) дБ. Если указанный диапазон слишком мал, следует увеличить до нужного значения коэффициент усиления охваченной части системы путем введения дополнительного усилителя (в структурной схеме при этом появится дополнительное пропорциональное звено с коэффициентом передачи ) или повышения коэффициента усиления уже имеющегося предварительного усилителя, если это возможно. В результате характеристики и поднимутся на соответствующее число децибел, а ЛАХ опустится на такую же величину (следует изобразить новые ЛАХ – уже с учетом дополнительного усиления: ). При определении минимально необходимого значения дополнительного коэффициента усиления следует также иметь в виду, что на низких частотах новый график должен проходить не выше уровня –20 дБ. Это нужно для того, чтобы фактическое значение добротности скорректированной системы мало отличалось от рассчитанного.

 

7.4. Уточнение ЛАХ параллельного корректирующего устройства

Поскольку описанная методика графического синтеза предполагает выполнение приведенного ранее неравенства, то в интервале частот, где это неравенство не выполняется, ЛАХ обратной связи оказывается неопределенной. Так как этот интервал находится в высокочастотной части желаемой ЛАХ, есть основание полагать, что в существенном для качества системы диапазоне частот (НЧ- и СЧ-области ЛАХ) будет достаточно хорошее совпадение ЛАХ скорректированной системы и желаемой ЛАХ, т. е. вид ЛАХ обратной связи вне указанного диапазона не очень сильно будет влиять на динамические свойства системы. Тем не менее, некоторое влияние конкретного вида высокочастотной части может оказаться заметным, поэтому при ее уточнении (относительно «идеальной» ЛАХ, соответствующей выражению (7.5)) следует учитывать следующие требования:

а) по соображениям реализуемости наклон последней асимптоты ЛАХ обратной связи не должен быть положительным; следует также стремиться к тому, чтобы корректирующее звено получилось как можно более простым;

б) запас устойчивости внутреннего контура должен быть не менее 35...40º (для его оценки можно использовать формулу (5.4)).

Лучше всего сделать так, чтобы три последних участка имели коэффициенты наклона 0, +20 дБ/дек и 0, причем участок с наклоном +20 дБ/дек должен начинаться на частоте , а заканчиваться на частоте, значение которой как раз и нужно определить из условия обеспечения минимально необходимого запаса устойчивости внутреннего контура.

7.5. Определение ЛАХ скорректированной системы

После того как окончательно сформирована ЛАХ корректирующей обратной связи, необходимо грубо оценить, насколько ЛАХ скорректированной системы соответствует желаемой ЛАХ. Для этого рекомендуется построить асимптотическую ЛАХ скорректированной системы, используя описанный в [3] способ приближенного построения асимптотических ЛАХ параллельных соединений звеньев. С его помощью можно легко построить ЛАХ замкнутого внутреннего контура, после чего следует сложить ее с ЛАХ неохваченной части. Этот способ можно использовать и при другом порядке построения [1]:

1. Сложить асимптотические ЛАХ охваченной части и корректирующей обратной связи, а затем отобразить полученный график зеркально относительно оси частот.

2. Результат п. 1 «замкнуть» единичной обратной связью, т. е. построить ЛАХ соответствующего замкнутого контура.

3. Сложив полученный график с ЛАХ нескорректированной системы, получить скорректированной системы.

Если приближенное построение показало, что ЛАХ скорректированной системы в существенном диапазоне частот совпадает с желаемой ЛАХ, следует перейти к определению с помощью ЭВМ точных частотных характеристик (ЛАХ и ЛФХ) скорректированной системы (разомкнутой, а для варианта М – еще и замкнутой).

7.6. Вопросы реализации корректирующего устройства

Реализация параллельной коррекции предусматривает, прежде всего, выбор тахогенератора [5]. Лучше всего использовать тахогенератор постоянного тока, так как при этом не возникает проблем с его реакцией на изменение направления вращения. Номинальная частота вращения тахогенератора должна быть не меньше максимальной частоты вращения исполнительного двигателя. следует выбирать наиболее современные типы тахогенераторов, удовлетворяющих требованиям:

– малая удельная ЭДС,

– компактность,

– прецизионность.

Этим условиям, например, удовлетворяет тахогенератор 2.5ТГП–6, основные характеристики которого таковы:

· удельная ЭДС 6±06 мВ*мин/об;

· номинальная частота вращения 6000 об/мин;

· класс точности 0.1;

· рабочий диапазон частот вращения 5-6000 об/мин;

· масса не более 0.1 кг.

Если при номинальной скорости вращения двигателя напряжение тахогенератора превышает уровень 7...8 В, в корректирующую обратную связь следует ввести делитель напряжения.

Для выбранного тахогенератора необходимо определить значение его коэффициента передачи в системе СИ.

Далее следует изобразить ЛАХ собственно корректирующего звена (КЗ) и решить вопрос о том, какими схемотехническими средствами целесообразно его реализовать.

При использовании пассивной коррекции для реализации корректирующего звена может оказаться необходимым использование каскада из двух RC-четырехполюсников. В этом случае следует обеспечить согласование их входных и выходных сопротивлений; при возникновении проблем рекомендуется применение разделительного операционного усилителя. Схемы RC-четырехполюсников, имеющие типовые ЛАХ, приведены во многих учебниках и справочниках. Необходимо рассчитать параметры всех элементов и выбрать их из стандартного ряда.

Часто удобнее применить активную коррекцию на операционных усилителях. В [6] предложен табличный метод синтеза активных корректирующих звеньев, при котором передаточная функция звена (определенная по его ЛАХ) представляется в операторной форме в виде отношения проводимостей RC-цепей, включаемых соответственно на вход усилителя и в обратную связь. Передаточные проводимости некоторых RC-цепей приведены в таблице. Необходимо точно выполнить рекомендацию относительно представления передаточной функции КЗ в виде отношения проводимостей. Следует выписать выражения для этих проводимостей и отдавать себе отчет в том, в какую цепь усилителя включена соответствующая RC-цепь.

При использовании операционных усилителей необходимо сопоставлять их базовое напряжение с максимально возможным уровнем напряжения на выводах тахогенератора. В случае необходимости следует применить

делитель напряжения (он становится необходим, если при номинальной скорости вращения двигателя напряжение тахогенератора превышает уровень 7...8 В). Его коэффициент деления необходимо, разумеется, учесть при расчете коэффициента передачи суммирующего усилителя по каналу обратной связи.

При реализации дополнительного коэффициента усиления охваченной части системы следует помнить, что реализация на одном операционном усилителе значения коэффициента усиления более 80–100 нежелательна.

По окончании расчета необходимо разработать принципиальную схему спроектированной части следящей системы, включающей в себя предварительные усилители и корректирующую обратную связь, изобразив также двигатель и – в виде нераскрытого блока – усилитель мощности.

 

 

№	Схема цепи	Передаточная проводимость	Обозначение постоянных

 

8. ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРРЕКТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

8.1. Анализ точности системы

В курсовой работе необходимо привести подготовленную к исследованию структурную схему следящей системы. На ней должны быть указаны численные значения всех параметров. Далее следует определить фактическое значение добротности скорректированной системы (для этого удобно предварительно вычислить коэффициент передачи контура скорости). Если значение отличается от вычисленного ранее требуемого значения более чем на 8...10%, то это обычно свидетельствует о том, что коэффициент передачи охваченных обратной связью звеньев системы недостаточно высок, в связи с чем следует увеличить значение дополнительного коэффициента усиления охваченной части. В любом случае необходимо сделать добротность системы равной заданной, увеличив коэффициент усиления неохваченной части в раз.

Ранее при исследовании системы, имеющей желаемую ЛАХ, был выполнен анализ ее точности при отработке гармонического или эквивалентного гармонического воздействий. Дополнительно следует провести следующий анализ.

а) для входного воздействия вида определить максимальное значение круговой частоты , при котором установившаяся ошибка не превысит указанного в задании значения ;

б) получить аналитическое выражение для установившейся ошибки при подаче на вход системы воздействия вида ;

При выполнении пп. а) и б) рекомендуется воспользоваться методом коэффициентов ошибок [2]. При этом без ущерба для точности анализа можно использовать упрощенную передаточную функцию разомкнутой системы, соответствующую только низкочастотной части ЛАХ.

8.2. Анализ динамических свойств системы на ЭВМ

Он включает в себя следующие этапы:

а) получение переходной характеристики и (для варианта M) амплитудной частотной характеристики или ЛАХ замкнутой системы;

б) определение фактических значений показателей качества скорректированной системы , и M и сравнение их с соответствующими значениями для желаемой системы и с требованиями задания;

в) исследование чувствительности системы к вариациям параметров.

Последний этап предусматривает определение переходной характеристики (а для варианта M еще и ЛАХ) системы, у которой значения параметров отличаются от номинальных с последующим сравнением показателей качества (M и, соответственно, , ) двух систем. Варьируемые параметры и кратность их изменения задаются преподавателем; чаще всего бывает необходимо изменить постоянную времени двигателя в 4...5 раз по отношению к исходному значению. При этом вопрос о том, в большую или в меньшую сторону изменять постоянную времени, следует решить исходя из того соображения, что новое («возмущенное») значение должно лежать в диапазоне .

 

Список литературы

О с н о в н а я л и т е р а т у р а

1. Второв В. Б. Расчет следящей системы: Методические указания к курсовой работае по дисциплине «Теория управления». СПб.: Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2004. 40 с.

2. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал). М.: Машиностроение, 1982.

3. Второв В. Б. Примеры решения задач по теории автоматического управления (структурные и частотные методы): Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2002.

4. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем и систем регулирования. Ч.1. М.; Л.: Энергоиздат, 1959.

5. Волков Н. И., Миловзоров В. П. Электромашинные устройства автоматики. М.: Высш. школа, 1986.

6. Тахванов Г. И. Операционные блоки автоматических управляющих устройств. М.: Энергоатомиздат, 1989.

 

Д о п о л н и т е л ь н а я л и т е р а т у р а

7. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования. М.: Наука, 1989.

8. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления пособие. СПб.: Профессия, 2003.

9. Борцов Ю. А., Второв В. Б. Математические модели и алгебраические методы расчета автоматических систем: Учеб. пособие / ЭТИ. С.-Пб., 1992.

10. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т.1 / Под. ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Образец титульного листа

 

Минобрнауки России

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова Ленина)

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: