 |
Равновесие плоской системы сил
|
|
|
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО КУРСУ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Апатиты
УДК 007.52
И. П. Карначев. Методические указания и расчетно-графические задания по курсу теоретической механики для студентов заочного отделения Учебно-методическое пособие.- Апатиты, КФ ПетрГУ, 2012.-32 с.
В пособии приведены методические указания к расчетно-графическим заданиям по теоретической механике, методика выполнения работ и варианты задания с набором схем. Данное пособие предназначено для студентов заочного отделения.
Табл. 5, илл. 25, библиогр. – 25 назв.
Рецензенты:
Санкт-Петербургский Государственный технический университет ─ проф., д.т.н. Каразин В.И.
Полярно-геофизический институт Кольского Филиала Российской Академии Наук - доц., к.ф.-м.н.Сахаров Я.А.
© Издательство Петрозаводского государственного университета,
Кольский филиал, 2012
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………..…………….…………..……….…… 4
1. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ……………….……………………5
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №1………….……….………….……. 9
2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ……………………………………….....…………….……….. 16
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №2…………………..……………… 18
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЕЁ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ…….……..……………………. 25
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №3….……….………………………. 26
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………...…………………………... 31
Введение
Теоретическая механика является фундаментальной дисциплиной, методы которой применяют для решения большого класса инженерных задач, в связи с чем студенты всех технических специальностей изучают этот предмет. При математическом моделировании исследуемых процессов в природе, что является научной основой теоретической механики, кроме изучения теории, необходимы навыки в решении конкретных задач. Для студентов заочного отделения эта проблема усложняется ещё и тем, что большее число изучаемых дисциплин отдается им на самостоятельное изучение. Поэтому «быстрому» приобретению навыков самостоятельного решения задач (так как ограничение по времени не позволяет обращаться к большому числу литературных источников) и служит данное учебное методическое пособие. Наряду с включенным в него обязательным набором расчетно-графических заданий по теоретической механики, где даётся пример его выполнения и набор схем по вариантам (взятыми автором-составителем из источника [1]), автор считает необходимым дать некоторое теоретическое пояснение к каждой расчетно-графической работе [4 – 7].
|
|
|
Вариант задания каждому студенту преподаватель определяет индивидуально. Кроме того, многие величины, определяемые в ходе решения, являются векторными, поэтому следует не только найти их модуль, но и указать на рисунках направления этих векторов. Решение задач следует сопровождать краткими комментариями. Рисунки выполняются с помощью чертёжных инструментов и должны быть аккуратны и наглядны. Расчёты ведутся с точностью до третьей значащей цифры. Почерк должен быть разборчивым. Если записи допускают двойное трактование, то они считаются ошибочными. В расчетно-графическом задании должны быть предусмотрены поля для замечаний проверяющего. Задачи, выполненные с отклонениями от этих указаний, не проверяются и считаются не зачтёнными.
Равновесие плоской системы сил
Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору 
и главному моменту 
.
|
|
|
Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается вокруг неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то 
и 
. Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил. Однако для различных систем сил на плоскости она носит свой аналитический вид.
1.1 Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:
(1.1)
Первое и второе выражения – уравнения проекций – образуются из условия ; третье выражение – уравнение моментов – из условия .
1.2 Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов
(1.2)
При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т.е. заменить систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:
(1.3)
или
(1.4)
В первом случае линия, проходящая через точки А и В, не перпендикулярна к оси х. Во втором же случае центры моментов А, В и С не лежат на одной прямой линии.
1.3 Для равновесия сходящихся сил 
, и следовательно, система сил уравновешена. Если построить векторный (силовой) многоугольник (рис. 1), то увидим, что он замкнется, т.е. геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил:
(1.5)
Из геометрического условия следует аналитическое условие равновесия, выражающееся двумя уравнениями:
и 
(1.6)
При решении задач на равновесие системы сходящихся сил можно использовать три метода: графический, графо-аналитический и аналитический (метод проекций).
Необходимо учитывать, что если рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил, приложенных к одному телу, число неизвестных величин не должно превышать двух (условие статической определимости рис.1.)
Векторный (силовой) многоугольник задачи с плоской системой сходящихся сил):
1. неизвестна одна сила, т. е. ее модуль и направление;
2. неизвестны направления двух сил данной системы;
3. неизвестны модуль одной силы и направление другой;
|
|
|
4. неизвестны модули двух сил.
При графическом методе решения во всех четырех случаях можно построить замкнутый силовой многоугольник и найти в нем неизвестные величины.
Графо-аналитический метод целесообразно применять в тех случаях, когда рассматривается равновесие трех сил. При этом по условию задачи в произвольном масштабе строится замкнутых треугольник, который затем решается на основе геометрических либо тригонометрических соотношений.
Метод проекций целесообразно применять для решения задач с числом сил больше трех.
При решении задач на равновесие плоской системы сходящихся сил рекомендуется придерживаться такой общей для всех систем схемы:
1. выделить тело или точку, равновесие которой рассматривается в данной задаче, и изобразить их на рисунке;
2. выяснить, какие нагрузки действуют на тело (точку), и также изобразить их на рисунке;
3. освободить выделенное тело (точку) от связей и заменить их действие реакциями, которые надо изобразить на том же рисунке;
4. на основе полученной схемы сил построить замкнутый силовой треугольник (если рассматривается равновесие трех сил) или составить уравнения равновесия, причем при составлении уравнений проекций оси целесообразно расположить так, чтобы их направления были параллельны или перпендикулярны к искомым силам (оси проекций также показываются на рисунке);
5. после решения уравнений равновесия полученные результаты необходимо проверить либо при помощи неиспользованных уравнений или соотношений, либо путем решения задачи другим способом.
В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.
рис.2 рис.3
Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).
Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.
|
|
|
В рассматриваемых в статике задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы и пары сил (статические моменты).
Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Р1 и Р2, как показано на рис. 2, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам А и В тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 2, б.
Равномерно распределенные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 3, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров – интенсивности q и длины l, на протяжении которых они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 3, б.
рис.4 рис.5
Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами Р, действующими на тело так, как показано на рис. 4, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 4, б.
Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Q подвешен на конце груза, жестко заделанного другим концом в каком-либо теле (рис. 5, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента (рис.5, в).
Как правило, в задачах по статике реакции связей – искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо знать ее направление и числовое значение (модуль).
Направления реакций идеальных связей – связей без трения – определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.
1) При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (
, 
; рис. 6), либо к поверхности связи (
, 
; рис. 6), либо к общей касательной обеих поверхностей (
; рис. 6).
Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении – перпендикулярном к опорной поверхности.
2) Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми. Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (
, 
, 
; рис. 7).
3) 
Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 8), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким образом, подвижный шарнир (т. е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.
|
|
|
4) Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 9), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.
Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси рис.6
шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие 
и 
(или 
и 
) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма лил треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции (или ).
рис.7 рис.8
Направление реакции неподвижного шарнира сразу непосредственно определяют в двух случаях:
а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;
б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил.
5) Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 10). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.
Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие 
и 
. Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки 
, уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).
рис.9 рис.10
Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.
6) Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 11). В отличие от гибкой связи такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.
рис.11
Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, то в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.
|
|
|
