 |
Глава II. Практическая часть
|
|
|
|
Разработка компьютерной программы для решения задачи оптимизации градиентным методом с использованием равномерного поиска
Разработка блок-схемы машинного алгоритма и программы
Программа для нахождения минимума будет начинаться с функции L(x0,y0,e), входными параметрами которой являются x0 - точка приближения по x, y0 - точка приближения по y и точность приближенного решения e. Равномерный поиск реализован основным соотношением
Результатом функции будет значение аргументов функции, доставляющих минимум рассматриваемой функции, само значение этого минимума. Приведем блок-схему машинного алгоритма (Рисунок 2).
алгоритм градиентный многомерный оптимизация
Рисунок 2 - Блок-схема программы
Реализация градиентного метода в Mathcad представлена на рисунке 3.
Рисунок 3 - Листинг программы в Mathcad
Результат выполнения программы представлен на рисунке 4.
Рисунок 4 - Результат выполнения программы
Результат, выданный программой, показывает координаты точки минимума x=0.67859 y=0.65174 и значение функции в этой точке Z(x,y)=5.73321.
Построим графики функций (Рисунок 5, Рисунок 6).
Рисунок 5 - График функции F(x)
Рисунок 6 - График функции H(y)
По графикам на рисунках 5 и 6 видно, что экстремум функции попадает в заданную область ограничений.
Так же построим 3D график нашей функции цели Z(x,y).
Рисунок 7 - 3D график функции цели Z(x,y)
Проверка необходимых и достаточных условий экстремума для найденной точки минимума
Для проверки необходимого условия существования экстремума функции найдем первую производную Zpr(x,y) от целевой функции Z(x,y) и подставим получившиеся координаты точек x и y. Производная равна нулю (учитывая допустимую погрешность), следовательно, необходимое условие существования экстремума выполнено.
|
|
|
А для проверки достаточного условия нужно построить матрицу Гессе и с помощью встроенной функции в Mathcad найти её определитель, подставив координаты полученной точки.
Реализуем алгоритм проверки необходимого условия в Mathcad. Листинг программы представлен на рисунке 8.
Рисунок 8 - Листинг программы по проверке необходимого условия
Реализуем программу для проверки достаточного условия. Листинг программы представлен на рисунке 9.
Рисунок 9 - Листинг программы по проверке достаточного условия
По выполненной программе на рисунке 9 можно сделать вывод, что матрица Гессе положительно определена, это означает то что мы нашли точку минимума.
Разработки программы проверки ограничений
Для проверки ограничений оптимизационной задачи рассмотренной в курсовой работе, мной была разработана программа. Функция программы названа Proverka. Программа заключается в том что, мы задаем два условия: если значение точки x попадает в промежуток от Ax до By и если значение y попадает в промежуток от Ay и By, которые должны быть верными и перемножаем их, в итоге программа должна выдать значение 1 (истина). На листинге программе приведенной на рисунке 9, мы видим, что найденная точка попадает в область допустимых значений.
Рисунок 10 - Листинг программы проверки ограничений
Заключение
В курсовой работе был рассмотрен градиентный метод оптимизации с равномерным поиском. Составлена программа в Mathcad, реализующая этот метод. Была найдена точка оптимума, являющаяся минимумом Z(x,y)=5.7332. В ней выполняются необходимые и достаточные условия.
Градиентный метод является эффективным. Однако могут возникнуть трудности с вычислением и исследованием матрицы вторых производных (матрицы Гессе).
|
|
|
|
|
|
