 |
Формула для вычисления вероятности события
|
|
|
|
Теория вероятностей для школьников Что изучает теория вероятностей.
В курсах математики и физики обычно рассматриваются только такие задачи, в которых результат действия однозначно определен. Например, если выпустить камень из рук, то он начинает падать с постоянным ускорением. Положение камня может быть вычислено в любой момент времени. Но если подбросить монету, то нельзя предсказать, какой стороной она ляжет вверх – гербом или цифрой. Здесь результат наших действий не определен однозначно. Может показаться, что в подобных задачах ничего определенного сказать нельзя, но даже обычная игровая практика показывает обратное: при большом числе бросаний монеты примерно в половине случаев выпадет герб, а в половине случаев – цифра. А это уже определённая закономерность. Подобного рода закономерности и изучаются в теории вероятностей. Изменяется в корне сама постановка задачи. Нас уже интересует не результат определенного опыта, а то, что получится после многократного повторения этого опыта. Коротко говорят, что в теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий.
Первичные понятия теории вероятностей: опыт и случайные события.
В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание), в результате происходят случайныесобытия (обычно говорят короче – события). Например, бросают монету и смотрят, какая ее сторона оказалась сверху. В результате этого опыта может выпасть герб – это одно событие, а может выпасть цифра – это другое событие. Поскольку выпадение герба зависит от случая, то это случайноесобытие.
Итак, дадим определение первичных понятий теории вероятностей.
|
|
|
Опыт (испытание) – это производимые действия.
Событие – это результат опыта.
Какое-либо конкретное событие является, как правило, делом случая (оно может произойти, а может и не произойти) и поэтому оно называется случайным.
События принять обозначать буквами. Например, в опыте с бросанием монеты событие “выпал герб” будем обозначать буквой Г, а событие “выпала цифра” – буквой Ц.
Упражнения.
В следующих опытах укажите события, которые могут в них происходить, и введите обозначения для этих событий.
1. Стреляют по мишени: а) один раз; б) два раза.
2. Игральный кубик (кубик, на сторонах которого точками указаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6) бросают: а) один раз; б) два раза.
3. Из ящика, в котором лежат 10 одинаковых (и неразличимых на ощупь) шаров, два из которых красных, а восемь – синих, наугад (не глядя) вынимают: а) один шар; б) два шара.
Частота события.
В том случае, когда один и тот же опыт проводится несколько раз, можно найти частоту интересующего нас события.
Частотой события называется отношение числа испытаний, в которых появилось это событие, к общему числу испытаний.
Например,пусть произведено 100 выстрелов по мишени, из которых 80 попали в цель. Тогда частота попаданий равна 
= 0,8.
Упражнения.
4. Миша и Дима стреляют по мишени. Результат Миши: 14 попаданий из 25-ти. Результат Димы: 9 попаданий из 15-ти. Найти частоту попаданий для каждого мальчика. Кто стреляет лучше?
5. Подбросьте 20 раз монету. Результаты опыта занесите в следующую таблицу (в ячейки нижней строки поставьте букву Г, если монета упала гербом вверх, и букву Ц, если монета упала цифрой вверх):
| № опыта | ||||||||||||||||||||
| Событие |
Найдите частоту выпадений герба: а) при первых десяти бросках монеты; б) при последних десяти бросках монеты; в) при всех двадцати бросках монеты.
|
|
|
Вероятность события.
Многочисленные эксперименты показывают, что при достаточно большом числе испытаний частота события незначительно отличается от некоторого постоянного числа (колеблется около этого числа). Это число и называют вероятностью события.
В качестве вероятности события может быть принята частота события при большом количестве опытов или число, близкое к ней.
Пример. Английский ученый Пирсон произвел 23000 бросаний монеты. При этом герб появился 11512 раз. Значит, частота выпадения герба равна
Этот пример показывает, что за вероятность выпадения герба можно взять число 0,5.
Упражнения.
6. Можно ли считать, что частоты попаданий, найденные при решении задания 4, задают вероятности попадания в мишень каждым из мальчиков? Обоснуйте свой ответ.
7. В Польше в 1927 году родилось 958 733 ребенка, из которых 496 544 были мальчиками. Найдите частоту рождения мальчиков в этом году. Можно ли полученный результат считать вероятностью рождения мальчика? Ответ обоснуйте.
8. Предложите способ определения вероятности победы кандидата в президенты на выборах.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ некоторых упражнений приводятся в КОНЦЕ СТАТЬИ
Формула для вычисления вероятности события
Вероятность события иногда можно определить и путем простых математических вычислений. Делается это так.
1. Определим, какие самые простые события (будем их называть элементарными исходами) могут произойти в данном опыте.
2. Мысленно удостоверимся в том, что все элементарные исходы равновозможны, то есть, никакой элементарный исход по идее не должен происходить чаще или реже, чем другие.
3. Теперь выделим из всех исходов те, которые благоприятствуют интересующему нас событию.
Пусть теперь число всех элементарных исходов равно n, а число исходов, благоприятствующих данному событию – m. Тогда вероятность события равна
Пример. Найти вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более двух очков.
Решение. Выпишем все элементарные равновозможные исходы, которые могут произойти в опыте по бросанию кубика, и подчеркнем те из них, которые благоприятствуют интересующему нас событию:
|
|
|
“выпало одно очко”;
“выпало два очка”;
“ выпало три очка ”;
“ выпало четыре очка ”;
“ выпало пять очков ”;
“ выпало шесть очков ”.
Итак, число всех исходов n = 6, а число благоприятных исходов m = 4. Значит, вероятность события равна
Ответ: 2/3.
Обратим особое внимание на то, что данный способ вычисления вероятности события не приемлем в случае, если элементарные исходы не являются равновозможными.
|
|
|
12 |
