 |
Решение некоторых задач егэ по теории вероятностей
|
|
|
|
Теперь разберем решения некоторых задач по теории вероятностей из сборника «ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л. Семенов, И.В. Ященко, и др. – 3-е изд. – М.: Издательство «Экзамен», 2012.
При решении данных задач нами будет применяться описанный ранее способ вычисления вероятности события, так как ситуация, при которой элементарные исходы опыта не являются равновозможными, исключается.
№ 362 (нумерация заданий дается по выше упомянутому сборнику)
Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.
Решение. В опыте имеется четыре равновозможных исхода, из которых интересующему нас событию благоприятствует ровно один исход. Поэтому вероятность события равна
p = ¼ = 0,25.
Ответ: 0,25.
№ 367
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
Решение. Предположим, что все выступления занумерованы числами от 1 до 50. При этом данные номера написаны на карточках (каждый номер на отдельной карточке). На третий день конкурса приходится 12 выступлений. Тогда задачу можно сформулировать так: какова вероятность, что при жеребьевке представитель России вытянет одну из соответствующих этим выступлениям двенадцати карточек? В опыте имеется 50 равновозможных исходов, из которых интересующему нас событию благоприятствуют 12. Поэтому вероятность события равна
p = 12/50 = 0,24.
Ответ: 0,24.
|
|
|
№ 377
На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швеции. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.
Решение. Предположим, что имена выступающих спортсменов написаны на карточках (каждое имя на отдельной карточке). В задаче сбивает с толку фраза «восьмым будет выступать спортсмен из Испании». На самом деле имеется в виду следующее: найдите вероятность, что при жеребьевке будет выбрана карточка с именем спортсмена из Испании. Итак, в опыте имеется 8 равновозможных исходов, из которых интересующему нас событию благоприятствуют 2 исхода. Поэтому вероятность события равна
p = 2/8 = 0,25.
Ответ: 0,25.
№ 381
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».
Решение. При помощи цифры 1 будем показывать, что команда «Меркурий» будет первая владеть мячом в матче с одной из других трех команд, а при помощи цифры 0 будем показывать, что не будет первая владеть мячом. Возможные комбинации покажем в следующей таблице, где ещё выделим (в рамку) единственный благоприятный исход для интересующего нас события:
| Владение мячом команды «Меркурий» в матче с командой… | ||
| «Марс» | «Юпитер» | «Уран» |
Итак, вероятность события равна
p = 1/8 = 0,125.
Ответ: 0,125.
№ 390
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.
Решение. Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки – буквой Р. Выпишем все равновозможные исходы данного опыта, подчеркнув единственный исход, благоприятствующий интересующему нас событию:
|
|
|
ОО ОР РО РР.
Итак, вероятность события равна
p = ¼ = 0,25.
Ответ: 0,25.
№ 396
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Ответ округлите до сотых.
Решение. Обозначим кости номерами I и II. Покажем в таблице все равновозможные исходы данного опыта (по количеству выпадаемых очков на костях), выделив в рамку исходы,благоприятствующиеинтересующему нас событию:
| III | III | III | III | III | III |
| 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 | 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 | 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 | 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 | 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 | 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 |
Итак, число всех равновозможных исходов n = 6 ∙ 6 = 36, число благоприятных исходов m = 5. Значит, вероятность события равна p = 5/36 = 0,138…≈ 0,14.
Ответ: вероятность события приближенно равна 0,14.
№ 414
Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 3 очка.
Решение. Учитывая дополнительное условие – сумма выпавших очков должна быть равна шести – покажем все равновозможные исходы данного опыта, выделив в рамку единственный исход,благоприятствующийинтересующему нас событию (под номерами I и II пишутся очки, выпавшие на игральном кубике первый и второй раз соответственно):
| III |
| 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 |
Итак, число всех равновозможных исходов n = 5, число благоприятных исходов m = 1. Значит, вероятность события равна p = 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
№ 433
Таня и Нина играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что Таня выиграла.
Решение. Покажем в таблице все равновозможные исходы данного опыта, выделив в рамку исходы,благоприятствующиеинтересующему нас событию (под номерами I и II пишутся очки, выпавшие при бросании кости Таней и Ниной соответственно):
| III |
| 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 |
Итак, число всех равновозможных исходов n = 5, число благоприятных исходов m = 2. Значит, вероятность события равна p = 2/5 = 0,4.
Ответ:0,4.
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ некоторых упражнений
1. а) 1 (попадание), 0 (промах); б) 11, 10, 01, 00. 2. б) см. таблицу из № 396
|
|
|
4. 14/25 = 0,56 – частота попаданий Миши; 9/15 = 0,6 – частота попаданий Димы; Дима показал лучший результат, чем Миша
6. полученные частоты не имеют отношения к вероятности попадания в мишень каждым мальчиком, так как число сделанных выстрелов было недостаточно большим
7. частота рождения мальчиков равна 496544/958733 = 0,5179168…≈ 0,518; полученный результат вполне можно рассматривать как вероятность рождения мальчика, так как число опытов (рождений ребенка) было достаточно большим
8. опросить незадолго до выборов как можно больше людей, причем разных возрастов, социального положения и из разных регионов, намерены ли они голосовать за данного кандидата, и тогда частота ответивших «да» будет давать примерную вероятность победы кандидата на выборах
|
|
|
12 |
