 |
Почему наши ощущения не могут подтвердить математических утверждений?
|
|
|
|
СТРАННЫЙ МИР ЧИСЕЛ
Математика неустранимо вплетена в ткань современной жизни. Покрываете ли вы стены ванной кафелем, прикидываете, сколько времени потребует путешествие в Глазго, поджариваете хлеб в тостере или посылаете человека на Луну — без математики вам не обойтись. Без нее наша жизнь стала бы почти неузнаваемой. Но можем ли мы точно сказать, что это такое — математика? Когда мы производим математические вычисления, то не вторгаемся ли мы, как считают некоторые математики и философы, в странный мир чисел, существующий «сам по себе», независимо от нас? Или же математика вместе с ее истинами в конечном счете создается нами?
Облицовка кафелем ванной
На сцене: Краус изучает математику, а Бриди — естествознание. Они покрывают кафелем пол в своей ванной квадратными плитками со стороной 1 фут (30,48 см). Бриди измерил пол и нашел, что он имеет размеры 12 на 12 футов. Краус вычислил, что 12x12 = 144, и купил 144 плитки. Сейчас он уложил последнюю плитку и любуется своей работой.
Краус: Прекрасно! Удивительно, как математике это удается?
Бриди: Что удается?
Краус: Я измерил наш пол - 12 на 12 футов. Затем применил математическое правило - правило умножения - и вычислил, что нам потребуется ровно 144 плитки для его покрытия. И когда мы уложили эти плитки, оказалось, что 144 плитки точно покрывают весь наш пол.
Бриди: Что ж здесь удивительного?
Краус: Ну как же! Ведь что бы мы ни делали - покрываем ли плиткой пол вычисляем ли высоту горы или количество топлива, нужное для полета ракеты, - математика всегда дает нам правильный ответ. Если мы опираемся на точные данные, то математика не может привести к ошибочному результату. Почему же математика столь надежна и информативна?
|
|
|
Конвенционализм
Бриди остается холоден.
Бриди: На самом деле математика вообще не содержит никакой информации. Сказать «имеется 144 плитки» и сказать «имеется 12 х 12 плиток» - это просто два разных способа высказать одно и то же.
Бриди указывает на окно.
Бриди: Допустим, ты мне скажешь, что животное, которое пасется там вдалеке, это жеребец. Тогда я могу предсказать, что это животное является лошадью мужского пола. Ты удивился бы, если бы мое предсказание оказалось истинным?
Краус: Нет, конечно.
Бриди: Почему же?
Краус: Поскольку существует лингвистическое правило, или конвенция, гласящее.что выражения «лошадь мужского пола» и «жеребец» взаимозаменимы. Так установлено. Поэтому в твоем «предсказании» нет ничего удивительного. Сказав, что это «лошадь мужского пола», ты дал мне не больше информации, чем было в моем высказывании о том, что это - жеребец.
Бриди: Согласен. Но не будет ли точно так же истинно «предсказание» о том, что 12 х12 плиток есть 144 плитки?
Краус: Почему это?
Бриди: Потому что правила вычислений точно так же являются установлениями или конвенциями, которые мы принимаем. Из этих правил следует, что выражения «12 х 12» и «144» взаимозаменимы. Поэтому произнести выражения «12 х 12 плиток» и «144 плитки» значит высказать одну и ту же информацию дважды.
Теория, согласно которой математические истины являются «истинами по соглашению», поскольку все они представляют собой более или менее отдаленные следствия принятых нами соглашений, называется конвенционализмом. Конечно, правила, используемые в математических вычислениях, являются гораздо более сложными, нежели те простые правила, которые говорят о взаимозаменимости выражений «жеребец» и «лошадь мужского пола». Однако, по мнению Бриди, принципиальной разницы между ними нет.
Математические факты
Краус придерживается совершенно иной теории относительно математики.
|
|
|
Краус: Математические истины не являются истинами, принимаемыми по
соглашению.,
Бриди: Тогда что делает их истинами?
Краус: Они истинны благодаря фактам.
Бриди: Что это за факты?
Краус: Математические факты, конечно. Допустим, я утверждаю, что все жеребцы относятся к мужскому полу. Как ты сказал, это утверждение будет тривиально истинным, истинным по соглашению. Но предположим теперь, я утверждаю, что все жеребцы имеют уши. Ведь это не будет истиной по соглашению?
Бриди: Нет. В мире могут найтись один или два жеребца, лишенные ушей.
Краус: Да, такое может быть. Поэтому если мое утверждение о том, что все жеребцы имеют уши, истинно, то оно истинно благодаря факту. Во внешнем мире существует факт, делающий мое утверждение истинным. Все жеребцы действительно имеют уши. Правильно?
Бриди: Да.
Краус: Я полагаю, это верно и для наших математических утверждений. Реальность содержит астрономические, географические, физические и химические факты. В нее входят также и математические факты, такие, как тот факт, что 12 х 12 = 144. Вот эти внешние математические факты и делают истинными наши математические утверждения.
Два вида истин
Краус и Бриди согласны относительно того, что, по сути дела, имеются два вида истин. Некоторые истины, например, та истина, что все жеребцы относятся к мужскому полу, «тривиально» истинны — истинны по соглашению. Другие истины, например, та, что все жеребцы имеют уши (если это истина), являются таковыми благодаря фактам.
Если истинно в силу соглашения, что все жеребцы относятся к мужскому полу, то нам не нужно идти и проверять всех жеребцов — относятся они к мужскому полу или нет Как обстоят дела в действительности, в данном случае не важно. Не имеет значения, какие факты существуют в мире: истина по соглашению останется истиной в любом случае. Она является «тривиальной» истиной.
С другой стороны, утверждение, истинное благодаря фактам, не является «тривиально» истинным. Такое утверждение рискует оказаться ложным, ибо мир может быть не таким, каким оно его описывает. Как говорит Краус, может случиться так, что не все жеребцы имеют уши. Для того чтобы узнать истинно ли нетривиальное утверждение, мы должны исследовать, таковы ли в действительности факты, о которых оно говорит: нужно пойти и посмотреть на всех жеребцов.
|
|
|
Бриди полагает, что математические утверждения истинны благодаря конвенции. Как и утверждение о том, что все жеребцы относятся к мужскому полу, они истинны благодаря нам самим. С другой стороны, Краус считает, что истинность математических утверждений определяется независимыми математическими фактами. Такова позиция математического реалиста.
Какая из этих двух точек зрения правильна?
Странный мир чисел
Попробуем сначала более ясно представить себе те факты, которые, по мнению Крауса, делают истинными математические утверждения. Нам известно, где искать астрономические, географические, физические или химические факты. Но где искать математические факты? Краус отвечает на этот вопрос следующим образом.
Краус: Математики часто думают о себе приблизительно так, как.они думают об астрономах. Как астроном исследует небо с помощью телескопа и открывает в нем новые необычные объекты и факты -пульсары, квазары и место Большого Взрыва, - так и математик исследует еще более высокую и тонкую область - область чисел.
Бриди: Чисел?
Краус: Да. Это очень необычная область. По-видимому, числа являются гораздо более удивительными объектами, чем даже пульсары и квазары, ибо они не являются физическими предметами.
Бриди: Ну да! Число 2 - не такая вещь, о которую можно споткнуться!
Краус: Совершенно верно. Оно нигде физически не локализовано. Тем не менее оно существует.
Бриди: Но если числа не являются физическими объектами и не локализованы в пространстве, то я не знаю, в каком смысле они существуют. Ведь реально существует только физический мир - с его физическими объектами, силами и свойствами, не так ли?
Краус: Нет, не так. Имеется реальность и помимо физической реальности.
Бриди: Что же это за странная реальность?
Краус: Область чисел является вечной. Физический мир имел начало во времени - Большой Взрыв - и когда-нибудь придет к своему концу. Но область чисел является вечной, она не имеет начала или конца во времени. 2x2 = 4 представляет собой вневременную истину: она останется истиной, даже если однажды исчезнет весь физический мир вместе со всем, что в нем находится.
|
|
|
Бриди: Понимаю.
Краус: Звезды и звездные системы находятся в процессе постоянного изменения. Но область чисел никогда не изменяется. И факты, относящиеся к этим необычным объектам - числам, - делают наши
математические утверждения истинными или ложными. Мое утверждение о том, что 12 х 12 = 144, истинно, поскольку точно отображает положение дел в мире чисел.
Будучи конвенционалистом, Бриди, конечно, убежден в том, что эта необычная область, в реальное существование которой верит Краус, на самом деле является иллюзией.
Бриди: Мне представляется, что эта «область чисел», изучаемая математиками, в действительности целиком является их собственным созданием. Все, что математики в действительности делают при своих вычислениях, сводится к получению следствий из определенных соглашений, которые они сами приняли для манипулирования символами (и иногда добавляют новые соглашения). Математика вместе с ее истинами целиком является нашим собственным изобретением.
Прав ли Краус? Описывают ли математики какую-то тонкую, существующую независимо от нас реальность? Или математика в конечном счете лишь плод нашей собственной изобретательности?
Почему наши ощущения не могут подтвердить математических утверждений?
Бриди считает, что способен доказать ложность реализма. Сначала он показывает, что математическое знание не опирается на опыт.
Бриди: Я могу доказать, что математик не описывает никакой «внешней реальности.
Краус: Каким образом?
Бриди: Начнем с замечания о том, что наше знание математических исто не опирается на опыт.
Краус: Я так не считаю. Опыт с несомненностью подтверждает, что 12x12=144. Я беру 12 пачек по 12 плиток в каждой, затем подсчитываю общее количество плиток и получаю 144 плитки. Разве не так?
Может показаться, что Краус прав, однако, как показывает Бриди, ситуация не столь проста.
Бриди: Я так не думаю. Допустим, ты пустил в загон 12 групп кроликов по 12 штук в каждой группе. Получится ли в загоне точно 144 кролика? Отнюдь не очевидно. Когда ты их захочешь пересчитать вновь, ты можешь обнаружить, что они размножились и их стало 150. Верно?
Краус: Да.
Бриди: Математика не говорит, что ты получишь 150 кроликов, когда будешь считать их во второй раз. Математика утверждает только одну простую вещь: если ты сосчитаешь 12 групп по 12 кроликов в каждой группе, то ты получишь 144 кролика. Математика не предсказывает, какое количество кроликов будет в загоне, когда ты их будешь пересчитывать в другой раз.
|
|
|
По-видимому, Бриди прав. Математика не говорит о том, что происходит, когда вы физически комбинируете вещи. Соединив вместе двух кроликов, вы можете получить больше, чем 2. Говоря о «сложении» в математике, мы не говорим о физическом соединении вещей. Например, физическое сложение 20 двухфунтовых кусков обогащенного урана-235 может не дать 40-фунтового куска, а приведет к ядерному взрыву. Мы можем также математически «складывать» вещи, находящиеся на расстоянии многих световыхлет одна от другой, например, звезды.
Бриди: Но тогда математика не может ничего сказать также и о том, сколько плиток ты получишь, когда посчитаешь их второй раз. Может появиться лишняя плитка. Некоторые из них могут исчезнуть. Они вообще все могут исчезнуть в клубах дыма. Математика ничего не говорит об этих возможностях. Поэтому тот факт, что когда ты вновь пересчитываешь плитки и получаешь 144, не подтверждает, что 12 х 12 = 144, ибо математика не говорит о том, что ты получишь или хотя бы можешь получить 144, когда сосчитаешь их во второй раз.
Опять-таки кажется, что Бриди прав. Нам не нужен опыт для того, чтобы оправдать математическое утверждение. Ко-
248
нечно, нам нужен опыт для того, чтобы изучить, что означают разнообразные математические символы, нам нужен опыт чтобы научиться пользоваться математическим языком. Но как только мы это усвоили, нам уже не нужен какой-то дальнейший опыт, чтобы увидеть, что утверждение «12x12= 144» истинно. Это утверждение можно подтвердить с помощью одного только разума, ограничиваясь действиями, совершаемыми «в голове». Знание такого рода — знание, не зависящее от опыта, — называют априорным знанием.
|
|
|
