 |
Почему математика должна быть чем-то «внешним»
|
|
|
|
Так, может быть, следует отбросить реализм и согласиться «конвенционализмом? Трудно сказать. Дело в том, что конвенционализм также встречает серьезные возражения. В частности, следующее рассуждение показывает, по-видимому, что конвенционализм неправ.
Краус: Хорошо, я согласен с тем, что есть что-то таинственное в том, как мы получаем математическое знание. Однако это не может заставить нас принять конвенционализм. Ясно, что конвенционализм ложен.
Бриди: Почему?
Краус: Представь себе цивилизацию, представители которой производят вычисления, руководствуясь иными математическими соглашениями. Вместо правил умножения, сложения, вычитания и т.д. они пользуются правилами шумножения, шложения, швычитания. Назовем эту альтернативную систему вычислений шматематикой. В шматематике 12, шумноженное на 12, дает 150. Это истинно «по соглашению».
Бриди: Какой кошмар!
Краус: Конечно. Но такая альтернативная система вычислений по крайней мере возможна, не так ли?
Бриди: Пожалуй.
Краус: Итак, ты полагаешь, что 12, умноженное на 12, дает 144 только в силу соглашения. Правильно?
Бриди: Да.
Краус: Тогда 12, шумноженное на 12, может дать 150. Это будет истинно тоже только благодаря соглашению.
Бриди: Так.
Краус: Но если представите ли этой необыкновенной цивилизации производят вычисления, руководствуясь правилами своей шматематики, то они будут совершать ошибки. Мы вычисляем согласно правилам математики, поэтому мы строим прочные мосты, посылаем людей на Луну, и нам хватает горючего, чтобы долететь до Глазго. Цивилизация, пользующаяся шматематикой, едва ли сможет просуществовать долго. Ее мосты будут разрушаться, ее электроприборы будут перегорать, а средствам передвижения постоянно будет не хватать горючего. Ты видишь теперь, что математика в отличие от шматематики действительно приводит к правильным результатам.
|
|
|
Бриди: Согласен.
Краус: Но тогда отсюда следует, что в отличие от шматематических истин истины математики не являются только «истинами по соглашению»-Истинные математические утверждения действительно истинны. Они в точности представляют положение дел в мире. Попробуй вместо математики пользоваться шматематикой, и ты придешь к ошибочному результату.
Рассуждения Крауса выглядят привлекательно. Мы часто используем математику для предсказаний. Если бы Краус воспользовался шматематикой, чтобы предсказать, сколько плиток потребуется для покрытия пола в ванной, он насчитал бы шесть лишних плиток. Математика же дает правильный результат. Представляется поэтому, что в отличие от шмате-матики математика точно отображает структуру «внешнего» мира. Но если так, то утверждение «12x12= 144» не является лишь «тривиально» истинным, следовательно, конвенционализм должен быть ложен.
Орудия мысли: рационализм — эмпиризм
Конвенционализм часто тесно связан с позицией, называемой эмпиризмом.
Эмпирики считают, что все нетривиальное знание восходит к показаниям наших органов чувств. Рационалисты с этим не согласны: они полагают, что по крайней мере какое-то нетривиальное знание дано нам a priori. В группу эмпириков входят такие философы, как Милль (1806—1873), Локк (1632—1704), Беркли (1685—1753), Юм (1711—1776) и Куайн (1908—2001). В лагере рационалистов собрались Платон, Декарт (1596—1650), Лейбниц (1646—1716) и Спиноза (1632—1677). Декарт, например, полагал, что мы можем a priori знать, что Бог существует, а это весьма нетривиальное знание. Некоторые рационалисты были даже убеждены в том, что не только какое-то нетривиальное знание не зависит от опыта, но вообше всякое подлинное знание от него не зависит: органы чувств вообше не способны дать нам никакого знания. Такова была точка зрения Платона.
|
|
|
Математики всегда относились к эмпиризму с некоторым подозрением. Как показал Краус, математическое знание кажется нетривиальным. Но Бриди доказывает, что математическое знание выглядит априорным.
Поэтому эмпирики стоят перед выбором: либо они должны отрицать, что математика является априорной (такой точки зрения придерживался, например, Милль), либо они должны показать, что математическое знание является, в конце концов, тривиальным (это стратегия Локка, Беркли и Юма).
Конвенционализм стремится показать, что математическое знание является, по сути дела, «тривиальным», поэтому он и привлекает многих эмпириков.
Заключение
Является ли математика и ее истины нашим собственным изобретением? Или же математика описывает реальность, существующую «вне» и независимо от нас? Философы и математики расходятся при ответах на эти вопросы.
С одной стороны, существуют серьезные аргументы в пользу конвенционализма: кажется, что только конвенционализм или что-то родственное ему способен правильно истолковать математическое знание.
С другой стороны, Краус также кажется правым, когда доказывает, что в отличие от истин шма-тематики математические утверждения истинны не только в силу конвенции. Тот факт, что математика приводит к правильным результатам, по-видимому показывает, что она способна точно отобразить положение дел во «внешнем» мире.
Какая же из этих двух точек зрения верна?
|
|
|
