Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса




 

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

 

 

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

Из формул (22)  (34), тогда  D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

 

 

 (36)

 

;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

 

 ; (37)

 

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m)

 

1) p2 - q < 0

2) p2 - q > 0

В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.

Во втором случае  (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*)).

Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w1 t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

(39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения  .

Далее, вводя обозначения:

Получим дифференциальное уравнение для х:

(41)

 

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая .

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

Если w > 1, т.е. wо > w1, то разность фаз равна 0, если  w < 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0). 

 

(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

 

В: (область резонанса, § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

 

 

Или преобразовав их, получим следующее:

 

 

Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения,  в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение, соотношения связывающие их:

 

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

(46)

 

 

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего    ширине захватывания для рассматриваемого случая.

 

1)

a0 - является общим корнем уравнений

 

2)

 

Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = aо w2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l2о << 1; Dw = wо Ро/Vоg.

б) для очень сильных сигналов   (Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

 

Список литературы

1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля.. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...