Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке

В мышлении мы оперируем не только простыми, но и сложными суждениями, образуемыми из простых посредством логических связок (или операций) — конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания, которые также называются логическими константами, или логическими постоянными. Проанализируем, каким образом перечисленные логические связки выражаются в естественном (русском) языке.

Конъюнкция (знак «л») выражается союзами «и», «а», «но», «да», «хотя», «который», «зато», «однако», «не только..., но и» и др. В логике высказываний знак «л» соединяет простые высказывания, образуя из них сложные. В естественном языке союз «и» и другие слова, соответствующие конъюнкции, могут соединять существительные, глаголы, наречия, прилагательные и другие части речи. Например, «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята» (aÙb), «Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе». Последнее высказывание нельзя разбить на два простых, соединенных конъюнкцией: «Интересная книга лежит на толе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе», — так как создается впечатление, что на столе лежат две книги, а не одна.

В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции (aÙb)º(bÙa). В естественном русском языке такого закона нет, так как действует фактор времени. Там, где учитывается последовательность во времени, употребление союза «и» некоммутативно. Поэтому не будут эквивалентными, например, такие два высказывания: 1) «Прицепили паровоз, и поезд тронулся» и 2) «Поезд тронулся, и прицепили паровоз».

В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только словами, но и знаками препинания: запятой, точкой с запятой, тире. Например, «Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь».

О выражении конъюнкции средствами естественного языка пишет С. Клини в своей книге «Математическая логика». В разделе «Анализ рассуждений» он приводит (не исчерпывающий) список выражений естественного языка, которые могут быть заменены символами «Л» или «&». Формула А ^ В в естественном языке может выражаться так:

«Не только А, но и В. Как А, так и В.

В, хотя и Л. А вместе с В.

В, несмотря на А. А, в то время как В» ⁷.

Придумать примеры всех этих структур предоставляем читателю.

В естественном (русском) языке дизъюнкция (обозначенная aÚb и aÚb) выражается союзами: «или», «либо», «то ли... то ли» и др. Например, «Вечером я пойду в кино или в библиотеку»; «Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным»; «Доклад будет то ли по произведениям Л. Н. Толстого, то ли по произведениям Ф. М. Достоевского».

Для обоих видов дизъюнкции действует закон коммутативности: (aÚbº(bÚa) и (aÚb)º(bÚa). В естественном языке эта эквивалентность сохраняется. Например, суждение «Я куплю масло или хлеб» эквивалентно суждению «Я куплю хлеб или масло». С. Клини показывает, какими разнообразными способами могут быть выражены в естественном языке импликация (AÊB) и эквиваленция (A ~ B).

(Буквами А и В обозначены переменные высказывания.)

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры, иллюстрирующие разнообразные способы выражения импликации А -> В (где А — антецедент, В — ковсеквент).

1. Если А, то В.

Если поставщики вовремя доставят детали, то завод выполнит свой производственный план.

2. Коль скоро А, то В.

Коль скоро приложенные силы снимаются, то сжатая пружина возвращается к своей первоначальной форме.

3. Когда А, имеет место В.

Когда наступает плохая погода, имеет место повышение числа сердечно-сосудистых заболеваний у людей.

4. Для В достаточно А.

Для того чтобы газы расширились, достаточно их нагреть.

5. Для А необходимо В.

Для сохранения мира на Земле необходимо объединить усилия всех государств в борьбе за мир.

6. А, только если В.

Студенты этого курса не приходили на субботник, только если они были больны.

7. В. если А.

Я разрешу тебе пойти погулять, если ты выполнишь все домашние задания.

Приведем логические схемы и соответствующие им примеры разнообразных способов выражения эквиваленции.

1. А, если и только если В.

Иванов не закончит свои эксперименты к сроку, если и только если ему не помогут сотрудники.

2. Если А, то В, и наоборот.

Если студент сдал все экзамены и практику на «отлично», то он получает диплом с отличием, и наоборот.

3. А, если В, и В, если А.

Многоугольник является вписанным в круг, если его вершины лежат на окружности, и вершины многоугольника лежат на окружности, если этот многоугольник является вписанным в круг.

4. Для А необходимо и достаточно В.

Для того чтобы число без остатка делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась без остатка на 3.

5. А равносильно В (иногда).

То, что площадь правильного многоугольника равна произведению полупериметра на апофему, равносильно тому, что площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы.

6. А тогда и только тогда, когда В.

Фирма будет согласна принять предложение о покупке товара тогда и только тогда, когда будет снижена цена этого товара на 15%.

Из приведенных выше схем и соответствующих им высказываний с конкретным разнообразным содержанием становится ясно, насколько многогранны в естественном языке (в частности, в русском) средства выражения импликации, эквиваленции и других логических связок (логических терминов). Это можно сказать и о других естественных языках⁹.

Импликация (a®b) не совсем соответствует по смыслу союзу «если... то» естественного языка, так как в ней может отсутствовать содержательная связь между суждениями а и b. В логике высказываний законом является формула:(a®b)º(aÚb).

Но в естественном языке дело обстоит иначе. Иногда союз «если, то» выражает не импликацию, а конъюнкцию. Например, «Если вчера было пасмурно, то сегодня ярко светит солнце». Это сложное суждение выражается формулой aÙb. Кроме логических связок для выражения общих и частных суждений в логике используются квантор общности и квантор существования. Запись с квантором общности VcP(c) обычно читается так: «Все х (из некоторой области объектов) обладают свойством Р», а запись с квантором существования З хР (х) читается так: «Существуют такие х (в данной области), которые обладают свойством Р». Например, 3x(x>100) читается как «Существуют такие х, которые больше 100», где под х подразумеваются числа. Квантор общности выражается словами: «все», «всякий», «каждый», «ни один» и др. Квантор существования выражается словами: «некоторые», «существуют», «большинство», «меньшинство», «только некоторые», «иногда», «тот, который», «не все», «многие», «немало», «немногие», «много», «почти все» и др.

С. Клини пишет о том, что, переводя выражения обычного языка с помощью табличных пропозициональных связок, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности¹⁰.

В практике математических и иных рассуждений имеются понятия «необходимое условие» и «достаточное условие». Условие называется необходимым, если оно вытекает из заключения (следствия). Условие называется достаточным, если из него вытекает заключение (следствие). В импликации а -> b переменная а является основанием. Она называется антецедентом. Переменная b — следствием (заключением). Она называется консеквентом.

Учащимся на уроках математики предлагаются задачи типа 1—4, требующие в каждом из следующих предложений вместо многоточия поставить слова: «необходимо» или «достаточно», либо «необходимо и достаточно»:

1. Для того чтобы сумма двух целых чисел была четным числом... чтобы каждое слагаемое было четным.

2. Для того чтобы число делилось на 15... чтобы оно делилось на 5.

3. Для того чтобы произведение (х - 3) (х +2) (х — 5) было равно 0,... чтобы х = 3.

4. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником... чтобы все его углы были равны¹¹.

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 202122 23 24 25 Следующая ⇒