Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Задача трех тел (Земля, Луна, спутник).

Жёсткие системы ОДУ. Динамика популяций

1. Система ОДУ, описывающая изменение численности популяций двух видов и эволюцию некоего генетического признака , имеет вид:

Параметры задачи:

Из последнего уравнения системы видно, что генетический признак изменяется медленней, чем численность популяций, то есть решение – релаксационные колебания.

2. Пусть теперь численность двух популяций зависит от взаимодействия между ними и двух медленно меняющихся генетических признаков:

Параметры задачи:

3. Другой вариант той же задачи:

Параметры задачи те же, что и в пункте 2.

Задание. а) Исследовать изменения двух видов, то есть изменения соответствующих численностей и их генетических признаков в зависимости от времени , построить графики зависимостей .

б) Использовать для численного решения систем явные методы Рунге-Кутты 1-го и 4-го порядков точности и неявный метод Рунге-Кутты (Хаммера-Холлинсворта).

в) Исследовать разностные схемы на сходимость по сетке.

Расчеты проводить при .

Жесткие задачи Коши. Уравнения типа Ван-дер-Поля

Рассмотрим автономные и неавтономные уравнения Ван-дер-Поля, а также уравнение Рэлея, описывающие колебательные процессы в электрических цепях.

а) Уравнение Ван-дер-Поля:

б) Уравнение Бонгоффера – Ван-дер-Поля:

в) Неавтономное уравнение Ван-дер-Поля, траектория-«утка»:

г) Уравнение Рэлея:

В пунктах а), б), в) считать .

В пункте в) рассмотреть два случая:

Задание. 1) Провести исследование поведения численных решений систем а)-г) в зависимости от «большого» параметра ; в пункте в) – в зависимости от .

2) Построить зависимости .

3) Использовать явные методы Рунге-Кутты 1-го и 4-го порядков точности, неявный метод (Хаммера-Холлинсворта).

4) Исследовать зависимость численного решения от шага интегрирования (сходимость в сетке).

Жесткие системы ОДУ. Уравнения химической кинетики.

Изучите поведение концентраций веществ в химических реакциях Белоусова-Жаботинского (модель Филдса-Нойса), Робертсона и .

Задание.

1. Постройте графики зависимостей параметров от времени и зависимости при .

2. Исследуйте сходимость численного решения по сетке.

3. Используйте явный и неявный методы Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Задача Коши для ОДУ. Уравнения колебаний

Уравнение Ван-дер-Поля (описывает нелинейные колебания в различных системах):

Уравнение Эйлера (описывает колебания в системе, где возвращающая сила и коэффициент вязкого трения убывают со временем):

Уравнение Капицы (описывает колебания «перевернутого» маятника):

При получается уравнение Матье, при при получается уравнение колебания маятника . Здесь – длина маятника, – угол отклонения от вертикали.

Уравнение Минорского (встречается в механических и электромеханических задачах с запаздыванием и нелинейностью):

Начальные данные задаются на

Задание. 1. Исследовать зависимость численных решений от параметров процессов.

2. Исследовать сходимость по сетке.

3. Использовать схемы Рунге-Кутты порядка не менее , сравнить с численными решениями, полученными по методу Эйлера (.

4. Представить зависимости параметров от времени и фазовые портреты.

Параметры для уравнения Капицы:

Баллистические задачи

1. Ракета. Ракета (или снаряд), запускаемая под малым углом к горизонту, стартует с начальной скоростью . Определить траекторию, если на ракету действуют сила тяжести , реактивная тяга в направлении вектора скорости, аэродинамическое сопротивление , сила ветра , действующая в направлении оси .

Соответствующие условиям задачи уравнения имеют вид:

Параметры задачи:

Задание. Определить траекторию и построить ее график в трех случаях:

2. Спутник. Вокруг Земли вращается спутник на круговой орбите радиуса км. Проработав короткое время, двигатель сообщил спутнику скорость в направлении, противоположном движению. Рассчитайте новую траекторию спутника. При какой спутник коснётся поверхности Земли?

Уравнение движения спутника:

Параметры задачи:

Задание. а) Построить график траектории в плоскости .
б) Проверить третий закон Кеплера:

Задача трех тел (Земля, Луна, спутник).

Здесь (отклонение масс Луны и Земли); Земля и Луна находятся в точках и соответственно, масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массами Земли и Луны (координаты спутника – ; первые производные появляются вследствие вращения системы координат и трения, пропорционального скорости с коэффициентом пропорциональности .