 |
Численные методы решения уравнения переноса. Задача распада разрыва
|
|
|
|
Рассмотрим одномерное линейное и нелинейное уравнение переноса (в характеристической и дивергентной форме):
Параметры задачи:
Здесь 
– шаг по координате, 
– шаг по времени.
Задание. Получите численные решения уравнений (1), (2), (3) с помощью разностных схем:
а) Куранта-Изаксона-Риса;
б) Лакса-Вендроффа;
в) гибридной схемы Федоренко;
г) схемы Хартена (TVD);
д) метода коррекции потоков Бориса-Брука;
е) Колгана;
ж) 
-схемы.
Об этих схемах можно подробнее узнать в книге И.Б. Петров, А.И. Лобанов «Лекции по вычислительной математике», лекция 15.
Численные методы решения системы уравнений газовой динамики
Получите численное решение одномерной задачи о распаде разрыва в идеальном газе, используя систему нестационарных уравнений газодинамики:
Здесь 
– плотность, 
– скорость газа, 
– удельная внутренняя энергия газа, 
– независимые координаты; 
.
Уравнение состояния:
Использовать сеточно-характеристический метод 
Здесь 
– диагональная матрица: 
(собственные числа матрицы 
),
(это матрица из собственных векторов матрицы . При этом 
, собственные векторы находятся из условия 
)
Здесь 
– адиабатическая скорость звука, 
.
Дополнительную информацию см. в книге И.Б. Петров, А.И. Лобанов «Лекции по вычислительной математике», лекция 14; п.14.3.
Задача нестационарной теплопроводности
Одна из постановок задачи взаимодействия лазерного излучения с веществом имеет вид (задача физики горения):
Здесь 
описывает энерговыделение реакции на поверхности образца, (
) – теплопотери, 
где 
.
1. Получите численное решение задачи с помощью локально-одномерной разностной схемы.
2. Исследуйте распределение температуры по 
и 
в различные моменты времени.
|
|
|
3. Покажите сходимость решения по сетке (т.е. при 
).
4. Получите численное решение при помощи явной разностной схемы. Какой шаг по времени необходимо для этого выбрать?
5. Исследуйте поведение рассматриваемой среды в зависимости от параметра 
.
Движение частицы в магнитном поле
Движение частицы заряда 
и массы 
в магнитном поле описывается системой ОДУ:
1. Получить численное решение задачи об отражении заряженной частицы от магнитного зеркала. В этом случае:
Начальные данные:
2. Получить численное решение задачи о движении заряженной частицы в магнитной ловушке. В этом случае:
Начальные условия:
Задание. а) Использовать методы Рунге-Кутты 1-го и 4-го порядков точности.
б) Исследовать сходимость численных решений по сетке (при 
– шаг по времени).
Нелинейное уравнение теплопроводности
Некоторые процессы в плазме, в биосистемах и в химических реакциях описываются нелинейным уравнением теплопроводности вида:
где 
– температура среды, 
– независимые переменные, 
– нелинейный коэффициент теплопроводности, 
– нелинейная функция (например, моделирующая процессы горения, детонации). Обычно:
При 
реализуется так называемый 
-режим с обострением, при 
– 
-режим с неограниченным ростом температуры, при 
– 
-режим (полуширина профиля температуры постоянна). При 
полуширина профиля сокращается, процесс локализуется, формируется так называемая диссипативная структура, а при наблюдаются тепловые волны, амплитуда которых растет. Профиль задается в виде:
1. Проверьте эти выводы численно, используя неявную схему. Положите:
2. Проверьте сходимость численных решений по сетке (то есть при 
где – шаг по координате).
3. Выведите профили 
в различные моменты времени.
|
|
|
12 |
