Использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы

Практическое занятие

 

По дисциплине

 

«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»

 

 

Тема: АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

 

Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В

Левицкий П.В.

Проверил:_______________________

 

Севастополь 2008

ПЛАН

 

1. Введение

2. Анализ САУ на устойчивость

2.1 Анализ устойчивости системы с помощью корней характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы

2.2 Анализ влияния параметров элементов системы на ее устойчивость с помощью расположения корней характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы на комплексной плоскости

2.3 Использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы

2.4 Построение годографов Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы заданной в виде полинома

2.5 Использование ЛАХЧ и фазовых частотных характеристик для анализа устойчивости системы

Выводы

 

1. Введение

 

Целью данной работы является изучить возможности математического пакета MathCad в среде Windows для анализа устойчивости электротехнической системы, изучить различные методы определения устойчивости электротехнической системы, достоинства и недостатки методов и критериев, используемых при анализе устойчивости.

Для того чтобы электротехническая система выполняла свое назначение, она должна быть, прежде всего, устойчива.

Электротехническая система считается устойчивой, если она, будучи выведена из состояния равновесия внешним возмущающим воздействием, приходит с течением времени в состояние равновесия. Если же электротехническая система после снятия возмущающего воздействия не приходит в состояние равновесия, а совершает колебания с нарастающей или постоянной амплитудой, она является неустойчивой или находящейся на грани устойчивости.

Для анализа устойчивости электротехническая система, используют следующие методы и критерии:

а)анализ устойчивости с помощью корней характеристического уравнения замкнутой системы. Анализ влияния параметров элементов системы на ее устойчивость с помощью изменения расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости;

б) использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы и определения критического коэффициента передачи системы;

в) частотный критерий Найквиста и устойчивость системы с определением запасов устойчивости;

г) использование логарифмических амплитудных (л.а.ч.х.) и фазовых частотных характеристик (ф.ч.х.) для анализа устойчивости системы и определения запасов устойчивости;

д) метод D - разбиения для определения области устойчивости и выявления параметров элементов системы, влияющих на ее устойчивость.

В работе будут рассмотрены алгебраические и графические критерии устойчивости. Построены частотные характеристики и проведён анализ влияния коэффициента усиления системы на устойчивость.

2. Анализ САУ на устойчивость

 

2.1 Анализ устойчивости системы с помощью корней характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы

 

Для анализа устойчивости системы с помощью корней можно воспользоваться характеристическим полиномом передаточной функции замкнутой системы полученной в Практическом занятии №5.

Переходной процесс будет устойчив, если все действительные корни и вещественные части комплексно-сопряженных корней будут отрицательны, следовательно, будет устойчива и электротехническая система. Если же хотя бы один действительный корень или вещественная часть комплексно-сопряженного корня будет положительна, то переходной процесс будет расходящимся и электротехническая система будет не устойчива. Если же хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь только мнимую часть, то переходной процесс будет иметь незатухающий колебательный процесс, а электротехническая система будет на грани устойчивости.

 

 

По виду корней характеристического полинома передаточной функции замкнутой системы можно сделать заключение, что для заданных выше параметров элементов системы она устойчива, так как действительный корень и вещественные части комплексно сопряженных корней отрицательны.

 

2.2 Анализ влияния параметров элементов системы на ее устойчивость с помощью расположения корней характеристического уравнения передаточной функции замкнутой системы на комплексной плоскости

 

На практике важно уметь определять влияние параметров элементов электротехнической системы на ее устойчивость. Можно изменить общий коэффициент усиления системы и она из неустойчивой станет устойчивой. Например, определим влияние коэффициента усиления электромашинного усилителя на устойчивость системы. Для этого передаточную функцию замкнутой системы и ее характеристический полином запишем запищим в символьно-цифровом виде относительно параметра k му.

 

 

Данный характеристический полином позволяет выявить влияние k му на устойчивость системы. В частности, можно определить чувствительность изменения устойчивости системы от его величины и определить его критическое значение, т.е. построить область устойчивости системы при изменении этого коэффициента в заданной области. Для этого выделим вещественную и мнимые части вектора polyroots (a_i (k _эму) корней характеристического уравнения, т.е. представим их в виде: s_i = a_i + j·β_i

 

 

 

 

И построим график, откладывая по оси х действительные, а по оси y мнимые части

 

Рис.1 Расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.

 

Из рис.1 видно, что пара комплексно-сопряженных корней s ₃ = a ₃ + j·β ₃ и s ₄ = a ₄ - j·β ₄ при изменении k му в заданной области переходят из левой полуплоскости в правую полуплоскость. Следовательно, по изменению этой пары корней можно определить критический коэффициент усиления магнитного усилителя. Графический способ определения критического коэффициента магнитного усилителя, показан на рис. 2.

 

 

 

Рис.2. Графический способ определения критического коэффициента передачи магнитного усилителя.

 

Табличный метод определения критического коэффициента передачи магнитного усилителя.

 

 

 

K му=11,18

 

Использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы

Для анализа устойчивости и определения критического коэффициента передачи прямого канала усиления системы в функции k му рассматриваемой системы с помощью алгебраического критерия устойчивости Рауса-Гурвица воспользуемся детерминантами D ₄ и D ₂, рекомендуемые Льенара – Шипара, так как характеристическое уравнение имеет пятый порядок.

 

а) детерминант D ₂:

 

 

б) детерминант D ₄.

 

Как видим, детерминант ∆₂ > 0, а ∆4 при коэффициенте передачи магнитного усилителя k му = 11,186980560011235894 равен нулю, т.е. система находится на грани устойчивости. Следовательно, критический коэффициент передачи магнитного усилителя равен k мукр =11,186980560011235894

Для того, чтобы убедиться что это действительно критическое значение коэффициента магнитного усилителя, определим корни характеристического уравнения для найденного коэффициента магнитного усилителя.

 

Как видим, характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней, следовательно, система находится на грани устойчивости.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: