 |
Использование л.а.ч.х. и фазовых частотных характеристик для анализа устойчивости системы
|
|
|
|
Критерий устойчивости системы по логарифмической амплитудной частотной характеристике (л.а.ч..х) и фазовой частотной характеристике можно сформулировать следующим образом:
Система автоматического регулирования, неустойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числами положительных переходов (переход фазовой частотной характеристики снизу вверх через линию φ(ω) = -180°) и числами отрицательных переходов (переход фазовой частотной характеристики сверху в низ через линию φ(ω) = -180°) фазовой частотной характеристики φ(ω) через линию φ(ω) = -180° равно нулю в диапазоне частот, на которых л.а.ч..х (L (ω)> 0).
Для построения фазовой частотной характеристики, желательно представить передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев.
и строить фазовую характеристику, используя выражение:
где:
«+» – соответствует типовым динамическим звеньям числителя передаточной функции;
«-« - соответствует типовым динамическим звеньям знаменателя передаточной функции.
Для построения асимптотической л.а.ч.х. используем передаточную функцию разомкнутой системы, представленной в виде типовых динамических звеньев:
Для этого используем передаточную функцию вида:
Представим эту передаточную функцию в виде типовых динамических звеньев:
 |
Параметры типовых динамических звеньев определяются, как показано ниже:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение фазовой характеристики будет иметь вид:
|
|
Определим частоту, при которой фазовая частотная характеристика пересекает ось φ(ω) = -180°
|
|
|
Для построения л.а.ч.х. воспользуемся выражением:
 |
На рис.5 представлены графики л.а.ч.х для двух значений коэффициента передачи магнитного усилителя k му = 10 и k му = 80.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.5. Графики л.а.ч.х. и фазовой частотной характеристик.
Анализ л.а.ч.х. и фазовой частотной характеристики показывают, что при увеличении коэффициента передачи магнитного усилителя от 8 до 80 система из устойчивой становится неустойчивой. Определим критический коэффициент передачи магнитного усилителя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если нет дополнительных требований по запасам устойчивости к системе, то рекомендуется принимать их равными:
Δ L (ω) = -12 db Δ φ (ω) = 35˚÷ 45˚
Определим, при каком коэффициенте передачи магнитного усилителя это условие выполняется.
| 
| 
|
|
| 
|
| 
|
Это же подтверждается графиками, приведёнными на рисунке 6.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6. Графики л.а.ч.х. и ф.ч.х., построенные для рекомендуемых запасов устойчивости.
Выводы
В данной практической работе мы ознакомились с возможностями математического пакета MathCad в среде Windowsдля анализа устойчивости электротехнической системы. Основными методами определения устойчивости являются: определение устойчивости с помощью корней характеристического уравнения. Достаточно к уравнению применить solve, s и получим корни уравнения, даже если оно 8-ой или более высокой степени. Отрицательные действительные корни или части комплексных корней являются критерием устойчивости. Критерии Рауса предполагают построение таблиц(матриц) и расчёт определителей. В MathCad задача определителей решается с помощью значка на панели матричных вычислений. Частотный критерий Найквиста самый наглядный из всех рассмотренных в данной работе. Если на графике кроме годографа Найквиста построить единичную окружность, то легко можно увидеть, при каких коэффициентах усиления система неустойчива, находится на грани устойчивости и устойчива. Если линия графика не охватывает точку (-1;j0), то замкнутая система устойчива. На основе использования критерия Найквиста можно определять запасы устойчивости по фазе и по амплитуде т.е. оценить степень устойчивости системы. Также в работе была исследована устойчивость при помощи логарифмических частотных характеристик. Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналом от частоты- фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Для построения логарифмической АЧХ и ФЧХ их графики строят в системе координат (20lgА(w)- lg(w) и φ(w)- lg(w)) то есть в логарифмической неравномерной шкале по оси частот. Были построены графики ЛАЧХ и ФЧХ для рекомендуемых запасов устойчивости. Кроме того в работе мы оценили влияние коэффициента усиления системы на устойчивость системы и нашли критический коэффициент усиления системы. Опыт показывает, что обычно с увеличением коэффициента усиления система стремится к неустойчивой.
|
|
|
|
|
|
12 |
