 |
Абсолютно сходящиеся интегралы
|
|
|
|
df.1 Пусть 
, несобственный интеграл
(1)
называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл
(2)
Если интеграл (1) сходится, а интеграл (2) расходится, то (1) называется условно сходящимся.
Аналогичные определения можно дать для других типов Н.И.
df.2 Пусть 
. Н. И. 
называется абсолютно сходящимся, если сходится Н. И. 
.
Th.6 О сходимости абсолютно сходящегося Н. И.
Пусть (или ) и Н. И. (или ) сходятся абсолютно. Тогда этот интеграл сходится.
Доказательство:
Пусть, например, (случай рассмотреть самостоятельно) и Н. И. сходится абсолютно. По условию - сходится (по Критерию Коши) 
. Из оценки для 
: 
выполняется
Критерий Коши. А это значит - сходится.
Th.7 Признак Дирихле.
Пусть 
, а 
и выполняются следующие условия:
а) функция 
(первообразная для f),
ограничена на 
(1), т.е. 
.
б) функция 
- монотонна, не меняет знака на ,
т.е. 
(2)
(3)
с) 
(4)
Тогда интеграл 
(5) – сходится.
Доказательство:
Покажем, что функция f ·g – удовлетворяет на условию Коши: т.е.
.
Согласно формуле интегрирования по частям для 
получаем
- 
(6)
Из условия (1) 
, что 
(7)
(8)
Заметим, что 
- если выполнено условие (2) и 
- если выполнено условие (3).
Поэтому для первого случая:
а во втором случае: 
(9)
Поэтому из равенства (6), используя оценки (7) и (9), получаем неравенство:
(10)
Согласно условию (4), что : 
(11)
Поэтому для 
из (10) и (11) следует, что 
, т.е. функция f ·g удовлетворяет на условию Коши и по Th. для сходимости Н. И. 
чтобы выполнялось условие Коши, т.е. 
. Следовательно, наш Н. И. (5) – сходится.
Следствие. (Признак Абеля)
Если а) ;
б) - сходится;
в) 
(т. е. выполняются условия ограниченности и монотонности (2) и (3) Th.7).
То интеграл - сходится.
Доказательство:
|
|
|
По Th. о пределе монотонной функции существует конечный предел
, и поэтому функция 
- монотонно стремится к нулю при 
. Из условия б) , что f имеет ограниченную первообразную 
. По Th.7 интеграл от функции 
на сходится. Т.к. 
, то интеграл
- сходится.
Замечание.
Признаки Дирихле и Абеля являются достаточными. Поэтому, если их условия не выполняются, то ничего нельзя сказать о сходимости интеграла.
§ 10.4 ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАСХОДЯЩЕГОСЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть 
и 
- расходится.
df.1 Пусть f(x) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке 
. Тогда главным значением интеграла называют конечный предел 
и обозначают:
(V.p. – начальные буквы французских слов valeur principal – главное значение).
Определенное таким образом главное значение отличается от определения несобственного интеграла тем, что в последнем = 
, переменные 
независимо друг от друга стремятся к 
и 
, соответственно.
Очевидно, что в случае сходимости Н. И. его главное значение тем более существует и совпадает с ним. Поэтому главное значение имеет смысл рассматривать для расходящихся интегралов.
df.2 Пусть 
\ 
. 
- неограниченная в (.) c.
Тогда главным значением Н. И. называют конечный предел
Для практического использования признаков сходимости необходимо иметь «эталонные» интегралы, т.е. интегралы, о сходимости которых известно.
ПРИМЕРЫ.
№1. 
Найти при каких 
он сходится и при каких расходится.
Решение:
· 
А) Исследуем 
на сходимость. Применим 
=
= 
понимая, что 
.
Пусть 
, тогда:
= 
, если 
.
= , если 
Первый ответ получен так: если , то 
и если 
, то
, а дробь 
.
Второй ответ объясняется так: если 
, то 
, а 
. Тогда
, когда , т.е. величина 
- бесконечно малая. Поэтому величина 
, которая нас интересует, - величина бесконечно большая.
Осталось рассмотреть случай 
:
= 
, следовательно 
, если , интеграл сходится.
= , если 
, интеграл расходится.
Исследуем на сходимость интеграл 
. Особенность интеграла в том, что при 
функция неопределенна в левом конце промежутка в (.) О и стремится к бесконечности при 
.
|
|
|
Применив формулу Ньютона – Лейбница, получим:
= 
, т.к. .
=
= 
, если, интеграл сходится.
Т. о. 
, если 
, интеграл расходится.
№2. Исследуем на сходимость интеграл: 
.
Решение:
- сходится.
№3. Исследуем на сходимость интегралы:
I. 
II. 
Решение: 
, если
Интеграл 
= 
, если 
При 
, т.к. 
при , а при
.
Заключение:
, при - сходится
, при - расходится.
= сводится к первому интегралу подстановкой:
(Доказать самостоятельно).
№4. А) 
=
Пусть .
сходится, , т.к. 
=
расходится, , т.к. 
Пусть . 
- расходится, т.к. 
.
сходится, .
Т. о. 
расходится, .
сходится, .
В) 
расходится, .
Аналогично А. Сделать самостоятельно.
№5. Исследовать на сходимость: 
Решение:
= (правило Лопиталя) = 
= 
.
Т.к. 
расходится, то наш интеграл также расходится.
№6. Исследовать на сходимость: 
.
Решение:
= 
= 
этот предел не стремится ни к какому пределу, следовательно, интеграл расходится.
Замечание.
если 
, интеграл сходится.
Если интеграл 
=
если 
, интеграл расходится.
- интеграл сходится.
№7. Исследовать на сходимость интеграл: 
.
Решение: Очевидно, что интеграл расходится, т.к. не существует ни 
, ни 
.
Главное значение существует:
№8. Найти главное значение 
.
Решение:
Н. И. как мы видели выше, не существует. Тем не менее у него есть главное значение:
Здесь с=0.
Главное значение есть, а интеграл не существует.
№9. Вычислить интеграл 
.
Решение:
Положим 
. 
.
. Мы получили несобственный интеграл, который легко вычисляется следующим образом:
= 
.
№10. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение:
Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях «x» и, следовательно, имеем первообразную:
По определению имеем:
.
№11. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Оба предела интегрирования бесконечны, поэтому предварительно разобьем данный интеграл на два:
= 
+
+ 
= 
-
- 
.
№12. Сходится ли несобственный интеграл: 
.
Решение:
= 
. Применяем правило интегрирования по частям, полагая:
= +
= 
.
Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.
|
|
|
№13. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение:
Преобразуем интеграл следующим образом:
В интеграле 
подынтегральная функция непрерывна на промежутке 
, поэтому его можно вычислить по формуле Ньютона – Лейбница:
= 
Интеграл - несобственный, т.к подынтегральная функция 
при 
. По определению имеем:
= 
.
Окончательно 
.
№14. Вычислить несобственный интеграл: 
.
Решение:
Преобразуем:
. Интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница, т.к. подынтегральная функция непрерывна.
= 
. Интеграл следует представить в виде суммы двух интегралов (ибо (.) разрыва x=0 лежит внутри промежутка интегрирования).
= 
+ 
= 3+3 = 6.
Итак, 
.
№15. Исследовать на сходимость: 
.
Решение:
Сравним подынтегральную функцию с 
. Подберем 
такое, чтобы 
был конечен и отличен от «0».
Если 
интеграл сходится.
№16. Исследовать на сходимость: 
.
Решение:
= 
. x=1 - особая точка.
интеграл расходится.
№17. Вычислить 
.
Решение:
Согласно определению:
= 
.
№18. Вычислить 
.
Решение:
= 
= 
Можно было бы вести записи так:
= 
.
№19. Вычислить 
.
Решение:
Знаменатель обращается в ноль в точках x=1 и x=2. Пусть 
- любое фиксированное. По определению:
= 
+ 
+ 
+
+ 
= 
.
№20. Рассмотрим интеграл Дирихле: 
.
Решение:
Заметим, что в силу 
.
Поэтому = 
.
Положим 
, тогда 
.
По признаку Дирихле Н. И. 
сходится, но тогда сходится и интеграл Дирихле.
|
|
|
