Основные формулы дифференцирования

1.C׳ = 0 (C – постоянная)	15.(ln x)' =
2.x׳ = 1	16.()' =
3.(u + v + w)' = u' + v' - w' (u, v, w – функции от x)	17.(sin x)' = cos x
4.(Cu) ' = Cu'	18. (cos x)' = - sin x
5.(uv)' = u'v + uv'	19.(tg x)' =  = 1 + tg2 x
' =	20.ctg x)' =
' =	21.(ln sin x)' = ctg x
' =	22.(lncos x)' = - tg x
9.(xn)' = nxn – 1	23.(lntg x)' =
' =	24.(lnctg x)' =
11.()' =	25.(arcsin x)' =
12.()' =	26.(arccos x)' =
13.(ex)' = ex	27.(arctg x)' =
14.(ax)' = axln a	28.(arcctg x)' =

Пример 1:у=5х⁷+9х⁶ . Найти вторую производную.

Решение:

Сначала вычислим значение производной.

у´=(5х⁷+9х⁶ =_ф3(5х⁷)´+(9х⁶ = =_ф5,ф45(х⁷)´+(9х⁶ 9х⁶( =

_ф7,ф17,1835х⁶+54х⁵ -9х⁶ .

Теперь вычислим значение второй производной:

у´´=(35х⁶+54х⁵ -9х⁶ )´=_ф3(35х⁶)´+ (54х⁵ + (9х⁶ )´=_ф9210х⁵+_ф4270х⁴ -54х⁵ -54х⁵ -9х⁶ =210х⁵+270х⁴ -108х⁵ -9х⁶ .

Пример2:у = ; используем формулы: 3,4,6,9.

Задание 2 выполняется после изучения темы «Исследование функции»

Схема исследования функции y = f [ x):

1. Найти область определения функции D(у).

2. Найти асимптоты у графика.

3. Найти опорные точки (максимум, минимум, перегиб).

4. Добавить к опорным точкам дополнительные точки.

Для построения графика.

Отметить все найденные точки в системе координат начертить асимптоты.

Построить график используя предыдущие исследования.

Пример: а) у = (х³ + 9х² + 15х - 9)

1 Областью определения функции являются все действительные числа D(у) =(-∞;∞)

2 Так как все числа входят в D (у), то вертикальных асимптот нет.

3  Ищем наклонные асимптоты.

Их уравнение имеет вид y = kx + b, где k = b= ).

Находим k:

Асимптот наклонных нет.

 

3.Находим опорные точки

а) Точки максимума и минимума. Для этого находим производную и приравняем ее к нулю.

 

 

Разбиваем ось Ох на интервалы и проверяем в них знаки производной подставляя в производную любое число из интервала

	(-∞; - 5)	- 5	(-5; - 1)	- 1	(- 1; ∞)
y´	+	0	-	0	+
y		max		min

Вычислим значение функции в максимуме и минимуме.

б) Находим точки перегиба. Для этого находим вторую производную и приравниваем ее к нулю.

Разобьем область определения на интервалы и проверим знак второй производной в этих интервалах

 

	(- ∞; - 3)	- 3	(- 3; ∞)
y´´	-	0	+
y	∩	перегиб	∪

Вычислим значение функции в перегибе

 

4.Составить таблицу для х и у, в нее запишем опорные точки и добавим дополнительные.

 

х	- 5	- 1	- 3	- 6	1	0
у	4	- 4	0		4

 

 

Строим график

							у
							6
							5
							4	у = (х3 + 9х2 + 15х -9)
							3
							2
						0	1						х
	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6
							-1
							-2
							-3

Если значение функции получилось больше можно масштаб на оси Оу сделать другой, например одно деление 50

Пример: б)

1. Область определения Д(у) = (-∞; 4) ∪ (4; ∞). Число 4 не входит в область определения, так как при нем получается деление на нуль.

2. Вертикальная асимптота х = 4. Находим наклонные асимптоты:

Уравнение асимптоты у = х + 4

3. Находим экстремумы

Проверяем знаки производной в интервалах, на которые разбивают ось эти корни

	(- ∞; - 2)	- 2	(- 2; 4)	4	(4; 10)	10	(10; ∞)
у´	+	0	-		-	0	+
у		max		не сущ.		min

 

Находим точки перегиба.

Вторая производная в ноль превратиться не может, поэтому точек перегиба нет.

4.	х	- 2	10	0	3	5
	у	- 4	20	- 5	- 29	45

Для построения асимптоты у = х + 4

х	0	3							у
у	4	7							45
									20
																у = х + 4
									5
			-6	-5		-3	-2			1		3	4	5
									-5
									-30

 

Задание 3 выполняется после изучения темы «Неопределенный интеграл».

При выполнения задания используются свойства интегралов: ò af (x) dx = a ò f (x) dx, a ≠ 0. 

ò (f₁(x) – f₂(x) + f₃(x)) dx = ò (f₁(x) dx - ò (f₂(x) dx + ò (f₃(x) dx.

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ò dx = x.

ò (a + bx)ⁿ dx =  ,

(n ≠ -1).

ò xⁿ dx =  , (n ≠ -1).

ò .

ò .

ò .

ò dx = )³.

ò  = arcsin x.

ò e^x dx = e^x.

ò ln x dx = x ln x – x.

ò a^x dx =  .

ò cos x dx = sin x.

ò sin x dx = - cos x.

ò

ò .

Пример 1.Вычислить методом непосредственного интегрирования.

Здесь a, nчисла.

Формулы:

Пример 2. Вычислить по замене.

Полагая , имеем 2xdx =du, xdx = (1/2) du. Значит, 

Задание 4 выполняется после изучения темы «Определенный интеграл»

Для вычисления площади необходима формула

Алгоритм нахождения определенного интеграла

1. Найти первообразную функцию F (x) для функции f (x).

2. Вычислить значение F (x) при х = b (b называется верхним пределом).

3. Вычислить значение F (x) при х = а (а называется нижним пределом).

4. Вычислить разность F (b) - F (a). Приведем примеры:

Приведем примеры:

 ;

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции и построить ее график.

х-2у+4=0, х+у-5 = 0 и у = 0.

 Выполним построение фигуры.Построим прямую х—2у + 4 = 0: у = 0, х=-4, А(-4;0); jх=0, ' у = 2, В(0;2). Построим прямую x+у-5 = 0; у = 0, х = 5, С(5; 0); х = 0, у = 5, 

D(0; 5).

x + y - 5 = 0						y
								x – 2y + 4 = 0
								M(2;3)
										C(5;0)
	A(-4;0)				0		N(2;0)				x

 

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой а при изменении х от N до С – прямой  для треугольника AMNимеем

у=0,5х+2; т.е. )= 0,5х+2, а=4 и b =2. для треугольника NMC by=-x+5 т.е..

)= -х+2, и b =5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим площадь:

S_AMC= S_NMC=

S= S_AMC + S_NMC = 9+4.5=13.5

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: