 |
П. 1. 2. Общие правила комбинаторики.
|
|
|
|
Содержание
Введение......................................................................................................................4
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
1.1 Предмет теории вероятностей............................................................................5
1.2 Общие правила комбинаторики.........................................................................6
1.3 События и их классификация.............................................................................8
1.4 Относительная частота событий и ее свойства.................................................9
1.5 Вероятность события и их свойства.................................................................10
1.6 Теоремы сложения и умножения......................................................................12
1.7 Теорема полной вероятности события. Формула Байеса...............................15
1.8 Задачи, проводящие к определению частоты появления события
в независимых испытаниях. Формула Бернулли..............................................17
1.9 Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа.....................................20
1.10 Выводы.............................................................................................................22
Глава 2. Случайные величины
2.1. Примеры случайных величин, взятых из сельскохозяйственного производства..............................................................................................................................23
2.2 Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики.......................................................................................................................24
2.3 Биномиальное распределение............................................................................28
2.4 Распределение Пуассона.....................................................................................28
2.5 Непрерывная случайная величина. Интегральная функция (закон) распределения...........................................................................................................................29
2.6 Дифференциальная функция распределения...................................................30
|
|
|
2.7 Числовые характеристики непрерывной случайной величины.....................32
2.8 Примеры, приводящие к понятию нормального распределения. Нормальное распределение...........................................................................................................33
2.9 Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило трех сигм.................................................................35
2.10 Понятие о законе больших чисел...................................................................36
2.11 Выводы..............................................................................................................37
Вопросы для самопроверки и упражнения............................................................39
Заключение................................................................................................................45
Список использованной литературы......................................................................46
Введение
Настоятельная необходимость совершенствования учебного процесса в высшей школе требует перехода от информационно-сообщающего обучения к обучению, моделирующему и формирующему навыки будущей профессиональной деятельности, перехода на активные формы, позволяющие готовить специалиста, способного быстро адаптироваться к изменяющимся производственно-экономическим условиям, видеть проблемы и направления развития отрасли, профессионально разрабатывать и принимать оптимальные альтернативные решения. В значительной степени реализовать такой подход позволяет модульная система обучения.
Это дидактическая система обучения, которая представляет собой совокупность различных форм и способов совместной деятельности преподавателей и студентов, организованной в особых единицах процесса обучения с целью максимального овладения программным материалом и повышения качества подготовки специалиста.
Модуль – основная организационно-содержательная единица МСО, охватывающая учебный материал, имеющий относительно самостоятельное значение и включивший в себя, как правило, несколько близких по содержанию тем или разделов курса.
|
|
|
Данная учебно-методическая работа написана в соответствии с государственным стандартом и модульной системе обучения. Предназначена для студентов нематематических специальностей аграрного университета обучающихся по модульной системе.
Элементы теории вероятностей.
Глава 1
Основные понятия и теоремы теории вероятностей.
В главе дано определение теории вероятностей как науки, приведены различные определения вероятности, простейшие свойства вероятности и методы ее вычисления.
П. 1.1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Многие явления в окружающем нас мире - в природе, технике, сельском хозяйстве и в других областях знаний носят случайный характер, а именно, если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать многократно при неизменных условиях, то оказывается, что явление (его протекание) можно описать с помощью чисел, т. е. количественно.
Так, например, если подбрасывать монету один раз, то нельзя предсказать, что выпадает - «герб» или «цифра»; при посадке одного дерева нельзя заранее утверждать, что оно приживется; посеянное зерно может дать всход, а может и не взойти.
Однако если наблюдение повторять много раз, то можно заметить закономерность: при подбрасывании монеты отношение числа выпаданий «герба», к общему числу подбрасываний мало отличается от 1/2, и чем больше число подбрасываний, тем ближе это отношение к 1/2. При посеве зерен отношение числа зерен, давших всходы, к общему числу посеянных с возрастанием их числа будет мало отличаться от некоторого постоянного числа. Отношение числа прижившихся саженцев к общему числу посаженных с возрастанием числа саженцев будет также мало отличаться от некоторого постоянного числа. О результатах подобных наблюдений говорят, что они обладают статистической устойчивостью.
Теория вероятностей дает математические модели для описания случайных явлений такого рода, а именно, явлений, которые могут быть воспроизведены при неизменных условиях сколь угодно много раз и обладающих свойством статистической устойчивости.
В задачах, связанных, например, с посадкой деревьев или с высевом семян, допущение о неизменности условий состоит в том, что саженцы и семена абсолютно одинакового качества, высаживаются в одинаковых условиях; различие в качестве, условиях посадки и произрастания не учитываются, т. е. считаются не существенными. В действительности и качество семян, и саженцев, и условия их посева, и произрастания одинаковыми не бывают.
|
|
|
При подбрасывании монеты предполагаются только два возможных исхода - выпадание «герба» или выпадание «цифры»; возможность падения монеты на ребро или возможность ее исчезновения в результате испытания не учитывается.
При такой постановке вопроса выводы, полученные в результате изучения моделей, будут отражать особенности явления лишь в главном, а при решении прикладных задач ответ на поставленный вопрос будет приближенным в той мере, в какой реальное явление отличается от его модели.
Теперь можно дать следующее определение.
Теория вероятностей - математическая наука о количественных закономерностях моделей случайных явлений независимо от их конкретной природы.
Основы теории вероятностей необходимо знать специалистам, работающим в областях, где очень многие явления и процессы подвержены случайным воздействиям.
п. 1.2. ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ.
Рассмотрим k множеств М1, М2, М3,...,Мk содержащих по m1, m2, m3,...,mk элементов соответственно. Выбирается по одному элементу из каждого множества и составляется еще одно множество. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, равно произведению m1, m2, m3,...,mk. В этом и состоит основной принцип комбинаторики.
В задачах теории вероятностей часто рассматриваются различные соединения (комбинации) из множества n элементов по k элементов (k ≤ n). Будем рассматривать такие соединения, в которые каждый элемент данного множества может входить не более одного раза, т. е. соединения без повторений.
Рассмотрим три вида соединений: 1) размещения, 2) перестановки, 3) сочетания.
Определение. Размещениями из n элементов по k элементов называются подмножества k элементов, отличающиеся одно от другого или самими элементами или их порядком. Число размещений обозначается 
.
|
|
|
Теорема. Число размещений из n элементов по k элементов
(1.2.1)
Пример. Определить, сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений.
Решение. Имеем n = 5, k =3; 
=5∙4∙3=60.
Здесь полагали, что 0< k ≤ n. При k =0,по определению, 
=1
Определение. Перестановками из данных n элементов называются множества из n элементов, различающихся только порядком.
Перестановки - это частный случай размещений. Число всех перестановок обозначают символом Рn. Число Рn найти несложно. Для этого в формуле (11.2.1) необходимо положить k = n. Имеем
Определение. Произведение n первых натуральных чисел обозначается символом n! (читается эн-факториал). Поэтому
(1.2.2)
По определению принимается Р0 = О! = 1.
Пример. К кассе за получением (для уплаты) денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь.
Решение. Очередь состоит из четырех различных лиц, поэтому в каждом способе составления очереди учитывается порядок их расположения. Таким образом, имеют место перестановки из четырех человек, их число равно
Р4=1∙2∙3∙4=24.
Определение. Сочетаниями, содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества, называются всевозможные множества, различающиеся хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначают 
.
Теорема. Число сочетаний из n элементов по k элементов определяется формулой
(1.2.3)
Пример 1. Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста необходимо выбрать 3 штамма. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Способы отбора считаются различными, если каждая отобранная группа штаммов различается хотя бы одним элементом. Это число
Таким образом, имеется 20 способов.
Пример 2. В ящике 20 шаров, среди которых 12 белых, остальные - голубые. Отбирается наугад 2 шара. Сколькими способами можно отобрать: а) два белых шара; б) два голубых; в) один белый, другой голубой.
Решение. Число способов, которыми можно отобрать два белых шара из 12, не зависит от порядка отбора и равно числу множеств из 12 и 2, различающихся только составом. Следовательно,
Число способов, которыми можно отобрать 2 голубых шара из 8 ровно
Число способов, которыми можно отобрать один белый, другой голубой шар, согласно основному принципу комбинаторики равно 12∙8=98, или
|
|
|
