 |
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
3.1. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами 
и 
. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы
Ответ: 
.
3.2. Плот массой 
с находящимся на нем человеком массой 
неподвижно стоит на поверхности пруда. Относительно плота человек совершает перемещение 
со скоростью 
и останавливается. Пренебрегая сопротивлением воды, найти:
а) перемещение 
плота относительно берега;
б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.
Ответ: а) 
; б) 
.
3.3. Мотоциклист едет по внутренней поверхности вертикальной цилиндрической стенки радиуса 
м. Центр масс человека с мотоциклом расположен на расстоянии 
м от стенки. Коэффициент трения между колесами и стенкой 
. С какой минимальной скоростью может ехать мотоциклист по горизонтальной окружности?
Ответ: 
м/с.
3.4. Две тележки массой каждая движутся друг за другом без трения с одинаковой скоростью 
. На задней тележке находится человек, масса которого . В некоторой момент времени человек прыгает в горизонтальном направлении в переднюю тележку так, что ее скорость становится равной 
. С какой скоростью относительно задней тележки он прыгнул?
Ответ: 
3.5. Пушка массой начинает скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 
с горизонтом. Когда пушка прошла путь 
произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом 
в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушка, найти продолжительность выстрела.
Ответ: 
.
3.6. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек – в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а скорость тележки 2 стала 
Найти первоначальные скорости тележек и 
, если масса каждой тележки (без человека) 
, а масса каждого человека 
|
|
|
Ответ: 
, 
.
3.7. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости 
из точки 1 с радиусом-вектором 
в точку 2 с радиус-вектором 
. При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых 
. Найти работу, которую совершила сила 
Здесь 
, 
и 
– в СИ.
Ответ: 
Дж.
3.8. Снаряд, выпущенный со скоростью 
м/с под углом 
к горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой О со скоростью 
м/с. С какой скоростью упал на землю второй осколок? Сопротивления воздуха нет.
Ответ: 
км/с.
3.9. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 
разорвался на два осколка так, что отношение их масс 
Скорость снаряда в этой точке 
Осколок массой m 2 полетел в том же направлении со скоростью 
Определить расстояние 
между точками падения осколков. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 
3.10. Локомотив массы начинает двигаться со станции так, что его скорость изменяется по закону 
, где – постоянная, 
–пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые 
секунд после начала движения.
Ответ: 
.
3.11. Цепочка АВ длиной  находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длиной свободно свешивается, касаясь своим концом В поверхности стола (рис. 3.7). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью он выскочит из трубки?
| 
Рис. 3.7
|
Ответ: 
.
3.12. Цепочка массой 
кг и длиной 
м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
|
|
|
Ответ: 
кг·м/с.
3.13 Цепочка массы 
кг, длины 
м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет 
длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?
Ответ: 
Дж.
3.14. Между двумя шариками равной массы происходит нецентральный упругий удар. Под каким углом 
друг к другу они разлетятся?
Ответ: 
.
3.15. Частицы массой попадают в область, где на них действует встречная тормозящая сила. Глубина проникновения частиц в эту область 
зависит от импульса 
частиц как 
где – заданная постоянная. Найти зависимость модуля тормозящей силы от 
Ответ: 
3.16. Небольшому телу массы 
находящемуся на горизонтальной плоскости, сообщили скорость 
Коэффициент трения зависит от пройденного пути по закону 
где – постоянная. Найти максимальную мгновенную мощность силы трения.
Ответ: 
3.17. Тело массой бросили под углом к горизонту с начальной скоростью 
. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тел, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
Ответ: 
, 
.
3.18. Однородная тонкая пластинка в форме равностороннего треугольника со стороной 
может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр покоящейся пластинки по нормали к ней упруго ударяется шарик массой Какой должна быть масса пластинки 
, чтобы шарик после удара остановился?
Ответ: 
3.19. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид 
, где и 
положительные постоянные, 
– расстояние от центра поля. Найти:
а) значение 
, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;
б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей 
и 
– проекции силы на радиус-вектор 
.
Рис. 3.8
Ответ: а) 
, устойчиво; б) 
(рис. 3.8).
3.20. Однородный стержень массой и длиной лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Шарик массой 
двигаясь со скоростью 
, направляется перпендикулярно к стержню, ударяется о конец стержня и прилипает к ней. Найти:
|
|
|
а) угловую скорость стержня с прилипшим шариком;
б) скорость их центра инерции после удара;
в) долю механической энергии, перешедшей в теплоту.
Ответ: а) 
; б) 
; в) 
.
Рис. 3.9
| 3.21. Небольшая муфточка массы  кг движется по гладкому проводу, изогнутому в горизонтальной плоскости в виде дуги окружности радиуса  см (рис. 3.9). В точке 1, где скорость муфточки  м/с, на нее начала действовать постоянная горизонтальная сила  .
|
Найти скорость муфточки в точке 2, если 
Н.
Ответ: 
м/с.
3.22. Однородный стержень длиной может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через одну из его точек. Стержень отклоняют на угол 
от вертикали и без начальной скорости отпускают. На каком расстоянии от центра инерции стержня должна находиться ось, чтобы в момент прохождения стержнем вертикали его угловая скорость была наибольшей?
Ответ: 
.
3.23. Небольшой шарик массой 
г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой 
Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя ее, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась м и скорость шарика 
м/с. Найти силу натяжения нити в этом положении.
Ответ: 
Н.
3.24. В системе, показанной на рис. 3.10, масса каждого бруска 
кг, жесткость пружины 
Н/м, коэффициент трения между
Рис. 3.10
бруском и плоскостью 
. Массы блока и пружины пренебрежимо малы. Система пришла в движение с нулевой начальной скоростью при недеформированной пружине. Найти максимальную скорость брусков.
Ответ: 
м/с.
3.25. Тело массой начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу 
, которую изменяют с высотой подъема 
по закону 
где – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.
Ответ: 
, 
.
3.26. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте 
м на две равные части. Через секунду после взрыва одна часть падает на Землю под тем местом, где произошел взрыв. На каком расстоянии 
от места выстрела упадет вторая часть снаряда, если первая упала на расстоянии 
м от места выстрела. Силы сопротивления воздуха при решении задачи не учитывать.
|
|
|
Ответ: 
= 5000 м.
3.27. Два идеально упругих шарика с массами и движутся вдоль одной и той же прямой в одном направлении со скоростями 
и 
. Во время столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение потенциальной энергии деформации в момент, когда она максимальна.
Ответ: 
.
3.28. Частица массой испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массой 
. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:
а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;
б) столкновение лобовое?
Ответ: а) 
; б) 
.
3.29. На гладком горизонтальном столе лежит шар массы , соединенный с пружиной жесткостью 
. Второй конец пружины закреплен к стене. Происходит лобовое упругое соударение этого шара с другим шаром, масса которого меньше 
а скорость равна 
. Определить амплитуду колебаний первого шара после соударения.
Ответ: 
3.30. Движущаяся частица претерпевает упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу.
3.31. В результате упругого лобового столкновения частицы 1 массы с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.
Ответ: 
3.32. Найти изменение кинетической энергии 
и импульса 
тела, движущегося со скоростью 
при упругом ударе его о стенку, движущуюся в том же направлении равномерно со скоростью 
При каком соотношении между скоростью тела и скоростью стенки 
ударившееся о нее тело остановится?
Ответ: 
тело после удара остановится, если 
.
3.33. Снаряд, летящий со скоростью 
м/с, разрывается на три одинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в 
раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?
Ответ: 
км/с.
3.34. Протон массой , летящий горизонтально со скоростью 
сталкивается с невозбужденным неподвижным атомом массы 
после чего он отскакивает и летит в прямо противоположном направлении с половинной скоростью 
а атом переходит в возбужденное состояние, т. е. в состояние с более высокой внутренней энергией. Определить скорость атома 
после столкновения и энергию 
которая пошла на возбуждение атома.
|
|
|
Ответ: 
; 
.
3.35. На нить длиной подвешен груз массой . Определить, на какую минимальную высоту надо поднять груз, чтобы он, падая, разорвал нить, если минимальный покоящийся груз разрывающий нить, растягивает ее перед разрывом на 1 %. Считать, что сила, с которой нить действует на груз, пропорциональна растяжению нити вплоть до ее разрыва.
Ответ: 
3.36. Гладкий резиновый шнур, длина которого и жесткость 
подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор. Из точки О начинает падать небольшая муфта массы Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.
Ответ: 
3.37. Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости  Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают (рис. 3.11). При каких значениях  –начальном сжатии пружины – нижний кубик подскочит после пережигания нити?
Ответ:  .
| 
Рис. 3.11
|
Рис. 3.12
| 3.38 На гладкой горизонтальной плоскости лежать два одинаковых бруска, соединенные невесомой пружинкой жесткостью и длиной  в недеформированном состоянии.
|
На один из брусков начали действовать постоянной горизонтальной силой 
Найти максимальное и минимальное расстояние между брусками в процессе их движения.
Ответ: 
, 
.
3.39. Два маятника в виде шариков разных масс и свободно подвешены на нитях разной длины 
и 
так, что шарики соприкасаются. Первый маятник отводят в плоскости нитей на угол от первоначального положения и отпускают. Происходит центральный удар шариков. На какие углы 
и 
относительно отвесной линии отклонятся маятники после удара (углы считать малыми, удар считать упругим)?
Ответ: 
; 
.
3.40. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нити длиной 
Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол 
от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным 
?
Ответ: 
.
3.41. От поезда массой идущего с постоянной скоростью, отрывается последний вагон массы который проходит путь и останавливается. На каком расстоянии от вагона в момент его остановки будет находиться поезд, если тяга паровоза постоянна, а трение каждой части поезда не зависит от скорости и пропорционально ее весу?
Ответ: 
3.42. Реактивный корабль массой приводится в движение насосом, который забирает воду из реки и выбрасывает ее назад с кормы корабля. Скорость струи воды относительно корабля постоянна и равна 
а масса ежесекундно выбрасываемой насосом воды также постоянна и равна 
Найти:
а) модуль скорости корабля как функцию времени;
б) коэффициент полезного действия системы 
как функцию величин и 
. Силы трения в насосе и сопротивление воды движению корабля не учитывать.
Ответ: 
; 
.
3.43. Шарик массы , двигавшийся со скоростью , испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. Масса каждого шарика гантели равна  расстояние между ними – (рис. 3.13) Пренебрегая размерами шариков, найти собственный момент импульса  гантели после соударения, т. е. момент импульса в поступательно
| 
Рис. 3.13
|
движущейся системе отсчета, связанной с центром масс гантели.
Ответ: 
.
| 3.44. На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массой , привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О с постоянной скоростью (рис. 3.14). Найти силу натяжения нити в
| 
Рис. 3.14
|
зависимости от расстояния тела до отверстия, если при 
угловая скорость нити была равна 
.
Ответ: 
.
3.45. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы, каждая массой Шайбы соединены легкой недеформированной пружинкой, длина которой и жесткость В некоторый момент одной из шайб сообщили скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружинке. Найти максимальное относительное удлинение пружинки в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.
Ответ: 
. Указание: решать в системе центра масс.
|
|
|
12 |
