 |
Статистическая оценка законов распределения
|
|
|
|
Введение
Когда приходится изучать не единичные, а массовые случайные явления, необходимо прибегать к статистическим методам исследования. Эти методы предназначены для выявления закономерностей там, где на первый взгляд нет ничего, кроме совокупности отдельных фактов, наблюдений, измерений. Теория вероятностей и математическая статистика являются науками о методах количественного анализа массовых случайных явлений.
В теории вероятностей по заданным вероятностям некоторых событий и функциям распределения случайных величин определяются вероятности и функции распределения других событий и случайных величин.
Естественно спросить: откуда известны исходные вероятности и распределения, как их найти? Одних априорных рассуждений для этого, как правило, недостаточно, необходимы опыт, специальные испытания. Математическая статистика и разрабатывает методы, позволяющие по результатам испытаний делать определённые выводы о вероятностях и распределённых случайных величин и событий.
Целью каждой науки является обнаружение некоторых общих закономерностей, позволяющих предвидеть течение явлений природы и выбирать рациональные пути поведения в исходных ситуациях. Во многих случаях для обнаружения общих закономерностей необходимо провести большое число наблюдений и измерений; как следствие нужны методы обработки совокупности таких наблюдений. Эти методы также разрабатывает математическая статистика.
Первые работы по математической статистике появились в 18ом веке и были связаны со статистикой народонаселения, изучением продолжительности жизни и вопросами страховании. Позже в конце 18ого начало 19ого века в связи с астрономическими задачами начались серьёзные исследования по теории ошибок измерений. Биологические изыскания послужили толчком для постановки многочисленных вопросов, которые привели в начале 20го века к выделению математической статистки в отдельную науку. Сейчас в связи с общим бурным развитием науки и проникновением количественных методов буквально во все отрасли знаний интерес к математической статистике возрос, возникли новые задачи и методы. Математическая статистика находится в стадии дальнейшего развития и её прогресс продолжается.
|
|
|
Известно, что каждое распределение определяется тем или иным числом параметров: закон Пуассона зависит только от одного параметра – математического ожидания; нормальный закон – от двух – математического ожидания и дисперсии исследуемой случайной величины.
Если мы хотим использовать эти законы, например распределения Пуассона, в инженерных задачах, нам нужно оценить параметр, то есть найти его численное значение, в данном случае – численное значение математического ожидания.
Традиционный естественный способ нахождения параметра заключается в обследовании некоторого множества значений соответствующей случайной величины. Это множество обычно называется выборкой; элементы множества – выборочными значениями случайной величины; количество элементов – объёмом выборки. На основании изучения выборки мы делаем некоторые выводы о всей совокупности возможных значений случайной величины. Эта совокупность называется генеральной. В результате обследования выборки и использования соответствующих статистических правил можно получить численную оценку значения параметра. Оценка параметра – это некоторая функция от выборочных значений случайной величины. В нашем случае в качестве оценки параметра – математического ожидания можно использовать среднее арифметическое выборочных значений. Отметим, что оценка является случайной величиной. Таким образом, параметр – постоянная величина заменяется значением случайной величины, полученной по результатам выборки на основании некоторого правила.
|
|
|
Если мы рассмотрим ещё одну выборку такого же объёма, то численное значение оценки будет несколько иным, так как состав нашей выборки случаен. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что с помощью оценки величина параметра определяется с некоторой ошибкой. Узловым для математической статистики является вопрос, как далеко могут отклонятся величины оценок, вычисление по выборке, от соответствующих истинных значений параметров.
В рассмотренном случае нужно по выборке оценить математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона. Как это сделать? Можно использовать: 1) среднее арифметическое 2) наиболее часто встречающееся выборочное значение случайной величины; 3) средний член вариационного ряда.
Какая из этих оценок лучше? И что значит лучшая оценка? Каким требованиям она должна удовлетворять? Ответы на эти вопросы даёт математическая статистика.
Вторая задача – проверка статистических гипотез. Это могут быть гипотезы о законе распределения, о равенстве двух математических ожиданий или дисперсий различных распределений. Проверка статистических гипотез также производится на основе анализа выборки ограниченного объёма.
Можно предположить что некоторая случайная величина распределена по закону Пуассона. Эта гипотеза нуждается в проверке. Частоты (оценки вероятностей), полученные в результате обработки выборки, могут несколько отличаться от вероятностей, определённых на основании распределения Пуассона. Причина расхождения может заключаться в том, что неправильна гипотеза о законе распределения. Однако не исключение и другая причина: объём выборки весьма мал, а при таком объёме выборки полученные различия между частотами и вероятностями могут наблюдать и при истинности предположения о законе распределения. Принять наилучшее решение в данном случае помогают методы математической статистики.
Существуют и другие не менее важные задачи математической статистики, такие, например как планирование эксперимента, установление статистических зависимостей между случайными событиями.
|
|
|
Выборочный метод
Генеральная и выборочная совокупность
Одним из фундаментальных понятий математической статистики является неопределяемое понятие генеральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимают множество качественно однородных элементов (объектов, изделий) самой различной природы. Рассмотрим возможные типы этих совокупностей.
1. Конечная и реально существующая, например генеральная совокупность всех людей Украины в фиксированный момент времени.
2. Бесконечная и реально существующая, например множество действительных чисел, лежащих между нулем и единицей.
3. Воображаемая (гипотетическая) конечная или бесконечная: Например, повторные непрекращающиеся бросания игральной кости дают последовательность элементов из бесконечной несуществующей генеральной совокупности.
Вторым основным понятием математической статистики является понятие выборочной совокупности (выборки).
Пусть требуется изучить элементы некоторой генеральной совокупности относительно какого-либо количественного признака, характеризующего эти элементы. Это можно сделать, производя сплошное обследование всех элементов совокупности относительно интересующего нас признака. Однако на практике сплошное обследование применяется сравнительно редко. Для генеральной совокупности, содержащей большое число элементов, сплошное обследование будет экономически невыгодно или вообще физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением (например при проверке качества минных взрывателей) или потребует больших материальных затрат (например запуск современной ракеты), то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В такой ситуации случайно отбирают из генеральной совокупности ограниченое число объектов и изучают их.
Таким образом, выборочной совокупностью или просто выборкой объёма n будем называть совокупность n объектов, отобранных из интересующей нас генеральной совокупности.
|
|
|
Статистическая оценка законов распределения
Если выборка объёма n из генеральной совокупности представительна, то элементы с одинаковыми значениями варианты будут приблизительно одинаково часто встречаться как в выборке, так и в генеральной совокупности. В этом случае естественно принять распределение X в выборке за приближенное распределение ее в генеральной совокупности, тоесть считать дискретное распределение выборки Fn(x) приближением к теоретической функции распределения F(x). Пример приближения показан на рисунке
Основанием для такого приближения является так называемая основная теорема математической статистики, доказанная В.И. Гливенко
Из этой теоремы следует, что при n→∞ с вероятностью, равной единице, верхняя граница отклонения |F(x)−F(x)| на всей оси x стремится к нулю. Тем самым гарантируется равномерное приближение Fn (x) к F(x) на всей оси x. Таким образом, исследуя функцию Fn (x), мы можем по ней приближено оценить теоретическую функцию распределения случайной величины.
|
|
|
