 |
Конечно-разностный аналог дифференциального уравнения неустановившейся одномерной фильтрации жидкости с единичными коэффициентами (вывод).
|
|
|
|
Рассмотрим однородный пласт, в к-м происходит одномерная фильтрация несжимаемой жидкости. Для этого случая ур-е нестац. Фильтрации имеет вид: ¶2Р/¶х2=(1/c)׶Р/¶t +q (1)
c=k×K/(mm) где К – объемный модуль упругости
Введем безразмерные величины:
=х/L; 
=P/Pн; q=c×t/L2; (2)
x= ×L;Р= ×Pн; t=q×L2/c; (3)
Подставим (3) в (1):
¶2Р/¶х2= 
(¶( ×Pн)/¶x)=(Pн/L2)* ¶2 /¶ 2 (4)
¶Р/¶t=(c×Pн/L2)׶ /¶q (5)
(Рн/L2)׶2 /¶ 2=(c×Рн/c×L2)¶ /¶q+ Рн×f/L2; f=q×L2/Pн; q=Pн×f/L2. (6)
¶2 /¶ 2=¶ /¶q+f (7).
В дальнейшем знак «
» уберем, но будем иметь ввиду, что это те же безразмерные величины.
¶2Р/¶х2=¶Р/¶q+f (7')
Разложение в ряд Тейлора:
Р(х)=Р(а)+Р'(а)(х-а)+Р''(а)(х-а)2/2!+…(8)
Мы рассматриваем точку i, в которой давление известно Рi. Нас интересует Рi+1 или Рi-1
Рi+1=Pi+Pi'Dx+Pi''(Dx)2/2!+Pi'''(Dx)3/3!+… (9)
Рi-1=Pi-Pi'Dx+Pi''(Dx)2/2!-Pi'''(Dx)3/3!+… (10). Из (9) найдем первую производную:
Рi'=(Рi+1-Рi)/Dx-Pi''×Dx/2!+Pi'''×(Dx)2/3!-… (11)
Рi'=(Рi+1-Рi)/Dx-0(Dx) (12)
где 0(Dx) – остаточный член первого порядка малости относительно Dx. Из (10)-аналогично:
Рi'=(Рi-Рi-1)/Dx+0(Dx) (13)
Складывая (12) и (13): Рi'=(Рi+1-Рi-1)/(2×Dx)+0(Dx)2 (14) где 0(Dx)2 - остаточный член второго порядка малости относительно Dx.
Сложим (9) и(10):
Рi+1+ Рi-1=2Рi+2 Pi''(Dx)2/2!+4 PiIV(Dx)4/4!+… (15)
Рi''=(Рi-1-2×Рi+Рi+1)/(Dx)2+0(Dx)2 (16)
По времени введем шаг Dt= τ. k – номер временного узла.
¶P/¶q» Рk'= (Pk-Pk-1)/t+0(t); Dq=t (17) Явная и неявная конечно-разностная схема.
Р(к-1)-распределение Р на момент времени (к-1).
Внутренних узлов всего (n-1) и 2 граничных узла 0 и n. Производная в выражении (16) может быть записана для (к-1) временного слоя:
(Рi-1,k-1-2×Pi,k-1+Pi+1,k-1)/(Dx)2=(Pi,k-Pi,k-1) / t + fi,k (18) – конечно-разностное уравнение.
Известны: Рi-1,k-1; Рi,k-1; Рi+1,k-1. fi,k – плотность стока (источника) задана.
(18) соответствует явной конечно-разностной схеме, поскольку каждое уравнение содержит одно неизвестное давление Pi,k. Если записать (18) для k-го временного слоя:
|
|
|
(Рi-1,k-2×Pi,k+Pi+1,k)/(Dx)2=(Pi,k-Pi,k-1)/t+fi,k (19) - соответствует неявной конечно-разностной схеме, в к-й (n-1)+2=n+1 уравнений с n+1 неизвестных Р. В каждом уравнении (19) содержится 3 неизвестных.
Для решения ур-й типа (19) составляется система уравнений из n+1 ур-й с n+1 неизвестными. Решается такая система на каждом временном уровне методом Гаусса или методом прогонки. Применение явной схемы возможно при t£(Dх)2/2 – усл-е обеспечивающее сходимость. Неявная схема не требует таких ограничений.
7. Решение системы конечно-разностных уравнений методом прогонки (для случая неустановившейся плоскопараллельной фильтрации жидкости в пласте с единичными коэффициентами).
(Pi-1,k-1- 2Pi,k-1+ Pi+1,k-1)/(∆x)2=(Pi,k- Pi,k-1)/τ+fi,k, (1), где (Pi-1,k-1, Pi,k-1, Pi+1,k-1-известны) - явная конечно-разностная схема.
(Pi-1,k- 2Pi,k+ Pi+1,k)/(∆x)2= (Pi,k- Pi,k-1)/ τ+fi,k, (2)-неявная схема, i=1,n-1.
Составляя систему ур-й по неявной схеме, получаем (n+1) ур-е для внутренних узлов с (n+1) неиз-ми давлениями. Чтобы сделать систему замкнутой записывают систему при (i=0,i=n) граничных условиях. Итак, записывая производные на границах в виде:
А) на левой границе (i=0): ¶Р/¶х (3)
(Р1,к-Р0,к)/∆х=0 (4)–конечно-разностное уравнение производной (3);
Б) на правой границе (i=n): ¶Р/¶х (5)
Рn,к-Р(n-1),к)/∆х=0(6)-конечно-разностное уравнение производной (5).
Из (4) следует Р0,к= Р1,к (4а). Из (6) следует Р(n-1),к= Рn,к (6а). Итак, мы имеем замкнутую систему. Ее решают методом прогонки значений систем конечно-разностных схем неявн. ур-й.
Для i=1:(P2,k- 2P1,k+ P0,k)/(∆x)2= (P1,k- P1,k-1)/τ+f1,k (7). С учетом (4а) можно записать: (P2,k- P1,k)/(∆x)2= (P1,k- P1,k-1)/τ+f1,k (8)
Р1,к=[Р2,к+(∆x)2(P1,k-1- τ f1,k)/τ ] / [1 + (∆x)2/τ] (9)
Обозначим:А1,к=1/(1+(∆x)2/τ); С1,к=((∆x)2/τ)/(1+(∆x)2/τ))*(Р1,к-1-τ*f1,к) (10).
Р1,к=А1,кР2,к+С1,к (11).
Аналогично можно показать:
Для i=2: Р2,к=А2,кР3,к+С2,к (12).
А2,к=1/(2-А1,к+(∆x)2/τ),,….(29)
С2,к={С1,к+(∆x)2 *(Р2,к-1-τ*f2,к) /τ }/(2- А1,к+(∆x)2/τ) (13).
|
|
|
Для любой внутренней точки i: Рi,к=Аi,кР(i+1),к+Сi,к (14).
Аi,к=1/(2-Аi-1,к+(∆x)2/τ),,….(31)
Сi,к={Сi-1,к+(∆x)2 *(Рi,к-1-τ*fi,к) /τ }/(2- Аi-1,к+(∆x)2/τ) (15).
Для i=n-1: Рn-1,к=Аn-1,кРn,к+Сn-1,к (16).
С учетом (6а) получим: Рn-1,к= Сn-1,к /(1-Аn-1,к) (17).
Коэф-ты А и С наз. прогоночными коэф-ми. Они не содержат неизвестных давлений и могут быть вычислены самостоятельно. Прогоночные коэф-ты вычисляются в порядке возрастания координального индекса i (слева на право). После вычисления прогоночных коэф-ов вычисляются давления в узловых точках в порядке убывания индекса i, т.е. справа налево. Так реализуется метод прогонки. В большинстве координатных узлов f1,k=0. f1,k> или<0 в тех местах, где имеются скважины добывающие или нагнетательные.
8.Система размещения скважин Рациональное размещение скв-н на площади г-носности имеет большое значение. Сетка размещения скв-н существенно влияет на все технико-экономические показатели разр-ки мест-я и обустройства промысла. Рацион-я система размещения скв-н обосновывается технико-экономическими расчетами. Существуют следующие системы размещения скв-н: 1. Равномерное размещение по квадратной или треугольной сетке.
2. Разм-е скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек.
3. Размещение скв-н в центральной части залежи.
4. Размещение скв-н в виде кустов.
5. Неравномерное размещение скв-н.
Под равномерной сеткой понимается такая система размещения скв-н на площади газоносности, когда в пр-се разр-ки не образуется общей депрессионной воронки, т.е. Рпл вдали от каждой скв-ны примерно одинаковы и близки к среднему Рпл. Изменение дебитов г-х скв-н опр-ся изменением во времени среднего Рпл по залежи в целом. Геометрически равномерное размещение скв-н на площади газоносности удовлетворяет отмеченному условию лишь при достаточной однородности пласта по коллекторским свойствам. В случае существенной неоднородности пласта под равномерной сеткой размещения г-х скв-н можно понимать такую, при к-й приближенно выполняется соотношение:
q1/(αW1)=q2/(αW2)=…=qn/(αWn) (1)
|
|
|
где qi - дебит i-й скв-ны; αWi- газонасыщенный объем дренирования i-й скв-ны. При переменных во времени дебитах в (1) подставляются знач-я соотв-х добытых кол-в г по каждой скв-не. С вводом мест-я в разр-ку большинство разведочных скв-н переводится в добывающие. Размещение разведочных скв-н может значительно влиять на систему размещения добывающих скв-н. Необходимое число г-х скв-н для добычи г, с течением времени увеличивается. При выборе, равномерной системы размещения скв-н сетку скв-н устанавливают исходя из необходимости размещения на площади г-носности потребного проектного числа скв-н на определенный момент (на конец периода постоянной добычи г или на конец бескомпрессорного периода). Равномерное размещение скв-н рекомендуется при разр-ке мест-й в условиях ГР и однородности продуктивного пласта по коллекторским св-вам. Преимущества: большие дебиты; минимальное число необх-х скв; продолжительный период бескомпрессорной экспл-ии; увеличиваются продолжительность и эффективность работы УНТС газа; наиболия простая схема; расчеты показателей разработки просты и более разработаны. Недостатки: увеличивается протяженность г-сборных сетей и промысловых коммуникаций; вусловиях ВНР будут интенсивнее обводняться скв. и местор. Необходимость размещения скв-н цепочкой вызвана тем, что мест-е сильно вытянуто в плане. Размещение скв-н в виде цепочки исп-но также при создании и эксплуатации нек-ых подземных хранилищ г. Размещение скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек исп-ся при проектировании систем разр-и ГКМ с ППД закачкой сухого г или воды. При размещении скв-н в виде кольцевых батарей или цепочек быстрее падают Pз, Ру и дебиты скв-н, раньше требуется ввод дополнительных скв-н для разр-и мест-я. Газосборные системы и промысловые коммуникации при рассматриваемой системе размещения отличаются компактностью. Скв-ны, подключаемые к УКПГ, размещаются на площади сравнительно небольшого радиуса. В рез-те создаются условия для безгидратной эксплуатации системы сбора г. Ускоряет освоение мест-я, сокращает капитальные вложения в систему обустройства промысла. Целесообразно размещение добывающих скв-н в наиболее продуктивных зонах мест-й (центральной, купольной). Центральная часть мест-я разбуривается кустами скв-н (в одном кусте несколько скв-н, расположенных друг от друга на расстоянии 50-70 м), расстояние м/у кустами около 1,5 км. Продлевается период безводной эксплуатации скв-н. Нередко коллекторские свойства пласта ухудшаются к периферии мест-я. Поэтому размещение скв-н в более продуктивной части мест-я обеспечивает вначале большие дебиты. Существует оптимальная зона разбуривания, обеспечивающая наилучшие технико-экономические показатели разр-и мест-я и обустройства промысла.
|
|
|
|
|
|
