 |
Абсолютные показатели вариации
|
|
|
|
Размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:
Среднее линейное отклонение (d) – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней:
Выборочная дисперсия (
) – среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
где 
– варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда.
Для практических вычислений более удобной является формула:
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):
Относительные показатели вариации
Коэффициент осцилляции:
Относительное линейное отклонение:
Коэффициент вариации:
Пример выполнения лабораторной работы «Вариационный ряд».
1) Дана выборка значений некоторого непрерывного распределенного количественного признака Х, объем выборки n = 50:
| -2,25 | 0,38 | -1,31 | -1,05 | -0,07 | -4,17 | 3,69 | -1,47 | 2,34 | -1,22 |
| 0,42 | -3,24 | 0,95 | -0,68 | 0,15 | 1,75 | 0,71 | -3,37 | 0,95 | 0,99 |
| -3,1 | -2,79 | -1,15 | 2,26 | 0,21 | 1,37 | -1,62 | 1,41 | 3,95 | -1,05 |
| -0,03 | -2,49 | -0,52 | 2,91 | -5,71 | 0,91 | -3,78 | -0,14 | -0,82 | -2,4 |
| 3,78 | 1,17 | -1,79 | 0,16 | 2,02 | -3,88 | 0,64 | -1,08 | 3,18 | -0,84 |
Требуется:
1) Построить интервальный ряд, определив количество интервалов по формуле Стерджеса, рассчитать частоты, относительные частоты (частости), накопленные частоты, накопленные частости.
2) Построить гистограмму, кумуляту.
3) Найти средние величины: выборочное среднее, медиану, моду.
4) Найти показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Решение
1) Построим интервальный ряд: 
; 
.
Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов:
|
|
|
.
Т.к. n = 50, то 
. Будем считать k = 7. Начало первого интервала 
. Конец последнего, седьмого интервала 
(минимальное и максимальное значение признака округлили в соответствующую сторону с точностью до десятых: для нижней границы – до десятых вниз, для верхней границы – до десятых вверх).
Длина каждого интервала будет равна[1]:
.
Подсчитаем число вариант, попадающих в каждый интервал, получим вариационный ряд:
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
Разделив частоты на объем выборки найдем относительные частоты (частости): 
; 
; 
и т.д.
Получаем:
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
| 0,02 | 0,12 | 0,12 | 0,22 | 0,3 | 0,12 | 0,1 |
Запишем интервальный ряд с накопленными частотами[2]:
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
Накопленные частоты подсчитывали как количество вариант, значения которых меньше правой границы каждого интервала.
Запишем интервальный ряд с накопленными частостями:
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
| 0,02 | 0,14 | 0,26 | 0,48 | 0,78 | 0,9 |
Накопленные частости рассчитывали по формуле: 
.
2) Построим гистограмму частот:
Построим кумуляту для интервального ряда – ломанную, которая начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – нулю; другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов и накопленным частотам.
3) Найдем средние величины.
Среднее выборочное:
Значения – середины интервалов:
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
| 0,02 | 0,12 | 0,12 | 0,22 | 0,3 | 0,12 | 0,1 |
| середины интервалов | -5,1 | -3,7 | -2,3 | -0,9 | 0,5 | 1,9 | 3,3 |
.
Таким образом, 
.
Найдем медиану интервального ряда – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений. Сначала определяем интервал медианы – первый интервал, в котором накопленная частота окажется больше половины объема выборки, т.е. больше 25.
|
|
|
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
| |||||||
|
|
Таким интервалом в нашем случае является [-0.2; 1.2].
Таким образом, 
.
Найдем моду интервального ряда – значение признака, которому соответствует наибольшая частота. Сначала определяем интервал моды – интервал с наибольшей частотой: [-0.2; 1.2].
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
|
Таким образом, 
.
4) Найдем показатели вариации.
Размах: 
.
Среднее линейное отклонение:
Значения – середины интервалов, 
.
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
| 0,02 | 0,12 | 0,12 | 0,22 | 0,3 | 0,12 | 0,1 |
| середины интервалов | -5,1 | -3,7 | -2,3 | -0,9 | 0,5 | 1,9 | 3,3 |
Таким образом, 
.
Выборочная дисперсия:
Значения – середины интервалов, .
|
| [-5.8; -4.4) | [-4.4; -3) | [-3; -1.6) | [-1.6; -0.2) | [-0.2; 1.2) | [1.2; 2.6) | [2.6; 4) |
|
| 0,02 | 0,12 | 0,12 | 0,22 | 0,3 | 0,12 | 0,1 |
| середины интервалов | -5,1 | -3,7 | -2,3 | -0,9 | 0,5 | 1,9 | 3,3 |
.
Таким образом, 
.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Исправленные выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
Ответ: 
|
|
|
