Задачи к контрольным заданиям

 

СТАТИКА

В статике рассматривается а) теория сил, б) равновесие тел под действием различных систем сил. Все задачи контрольного задания (С1-C3) относятся к теме о равновесии. Это позволяет привести общие для всех задач сведения справочного характера из теории и сформулировать алгоритм решения задач.

 

ВИДЫ СВЯЗЕЙ

Связь – тело, препятствующее перемещению данного объекта (тела, узла) в пространстве. Реакция связи – сила, с которой связь действует на объект.

 

Вид связи	Направление реакции связи
Гладкая поверхность, на которую объект опирается в точке A.	Реакция гладкой поверхности в точке A направлена по нормали к поверхности опоры.
Острие, угол, линия (гладкие).	Реакция направлена по нормали к поверхности объекта.
Гибкая связь (трос, цепь, нить).	Реакция гибкой связи направлена вдоль связи от объекта (нить растянута).
Цилиндрический неподвижный шарнир.	Реакция цилиндрического шарнира в точке A расположена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира; направление в плоскости не определено, указываем составляющие реакции шарнира по координатным осям: , .
Катки (подвижный шарнир) без трения.	Реакция связи направлена по нормали к поверхности опоры катков.
Невесомый стержень, концы которого закреплены шарнирами.	Реакция связи направлена вдоль прямой, проходящей через концы стержня. Указываем от объекта, предполагая, что стержень растянут; минус в ответе означает, что стержень сжат.
Подшипник B и подпятник A (сферический шарнир A).	Pеакция подшипника B расположена в плоскости, перпендикулярной оси подшипника (ось z); указываем в плоскости две составляющие этой реакции по коорд. осям: , . Направление реакции подпятника A в пространстве не определено; указываем в пространстве три составляющие этой реакции по коорд. осям: , , .
В плоскости В пространстве Заделка объекта в другое тело.	В случае плоской системы сил на объект действует сила, направление которой в плоскости действия сил не определено, и пара сил в этой плоскости. В случае пространственной системы сил на объект действует сила, направление которой в пространстве не определено, и пара сил, направление вектора момента которой в пространстве не определено (см. рис.).

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

	Сила, действующая на твердое тело – скользящий вектор
	Проекция силы на ось
	Проекция силы на плоскость
	Момент силы относительно центра (точки) как вектор: алгебраическое значение этого момента: . Знак соответствует повороту тела вокруг центра А против хода часовой стрелки; h – перпендикуляр, опущенный из центра А на линию действия силы (плечо силы)
	Момент силы относительно оси , – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси; А – точка пересечения оси с этой же плоскостью; h – плечо силы .
	Пара сил – две равные антипараллельные силы:
	Действие пары сил полностью характеризуется вектором-моментом пары сил Момент пары сил, действующей на твердое тело, – свободный вектор. Алгебраическое значение момента пары сил: – плечо пары сил (перпендикуляр, опущенный из точки приложения силы на линию действия другой силы)

 

ВИДЫ СИСТЕМ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО,

И УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

Произвольная пространственная система сил – линии действия сил расположены в пространстве произвольно.	Векторная форма: (для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы сил равнялись нулю). Координатная форма (аналитическая):
1. 2. 3.	4. 5. 6.
Система сходящихся сил – линии действия сил пересекаются в одной точке.	Векторная форма: , где – равнодействующая системы сил. Координатная форма: 1. ; 2. ; 3. (для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую ось была равна нулю).
Пространственная система параллельных сил – линии действия сил в пространстве параллельны.	Векторная форма: . Координатная форма (ось параллельна линиям действия сил): 1. ; 2. ; 3. .
Произвольная плоская система сил – линии действия сил расположены в одной плоскости произвольно	Векторная форма: . Координатная форма: 1-я форма (точка А – произвольная точка в плоскости): 1. ; 2. ; 3. . 2-я форма (точки A, B, С не лежат на одной прямой): 1. ; 2. ; 3. 3-я форма (Ось ОХ не перпендикулярна прямой АВ): 1. ; 2. ; 3.
· A O F4 F5 F3 F2 F1 y x Плоская система параллельных сил – линии действия сил параллельны и расположены в одной плоскости.	Векторная форма: . Координатная форма (ось Х параллельна линиям действия сил): 1. ; 2. .

 

Примерный план (алгоритм) решения задач статики:

1. Назвать (выделить) объект: тело, узел, равновесие которого надо рассмотреть в данной задаче.

2. Указать на рисунке силы, действующие на этот объект:

а) активные силы;

б) назвать каждую связь и пояснить направление реакций связи или их составляющих (мысленно освобождая объект от связи на основании аксиомы освобождения от связей);

3. Назвать вид полученной системы сил, учитывая расположение линий действия сил.

4. Сформулировать условия равновесия полученной системы сил в алгебраической (координатной) форме.

5. Провести на рисунке координатные оси (если заранее не потребовалось это сделать).

6. Составить уравнения равновесия.

7. Решить систему уравнений с пояснением.

8. Сделать проверку.

9. Записать ответ.

 

При работе необходимо использовать учебник, данное пособие и справочник по математике.

Задача С1

 

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С1.0-С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке C к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом P =25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН×м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в таблице (например, в условиях № 1 на раму действуют сила под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D, и сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке E, и т. д.)

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять a = 0,5 м.

Указания. Задача C1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента какой-либо силы часто удобно разложить ее на составляющие и (по правилу параллелограмма), для которых плечи легко определяются; затем применить теорему Вариньона (в алгебраической форме): .

Таблица С1

Сила
Номер условия	F1 = 10 кH	F2 = 20 кH	F3 = 30 кH	F4 = 40 кH
Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.
	H		-	-	-	-	K
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	E
	-	-	K		H		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		K		-	-

 

 

Рис. С1.0	Рис. С1.1
Рис. С1.2	Рис. С1.3
Рис. С1.4	Рис. С1.5

 

Рис. С1.6	Рис. C1.7
Рис. C1.8	Рис. C1.9

 

Перед выполнением задания прочтите по учебнику темы: «Основные понятия и аксиомы статики», «Связи и реакции связей», «Плоская система сил», «Пара сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Сила, линия действия силы.

2. Проекция силы на ось. В каком случае проекция силы на ось равна нулю?

3. Проекция силы на плоскость, в каком случае эта проекция равна нулю. Отличие проекции силы на плоскость от проекции силы на ось.

4. Алгебраической момент силы относительно центра (точки). В каком случае момент силы относительно центра равен нулю?

5. Что называется связями, перечислите виды связей.

6. Аксиома освобождения от связей.

7. Реакция связи, ее направление и точка приложения.

8. Какая система сил называется плоской (произвольной плоской)? Сформулировать и записать уравнения: условия равновесия плоской системы сил в векторной и алгебраической (координатной) формах.

 

 

Пример C1. Жесткая пластина ABCD (рис. C1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В - подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН × м, , l = 0,5 м.   Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

 

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы (рис. C1):

а) активные силы (нагрузки): силу и пару сил с моментом М;

б) реакции связей:

в точке A связью является неподвижная шарнирная опора, ее реакцию изображаем двумя составляющими , параллельными координатным осям;

в точке В связью является подвижная шарнирная опора на катках, ее реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры катков;

в точке D связью является трос, реакция троса направлена вдоль троса от пластины (по модулю Т = Р).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. Первые два уравнения выражают равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил на оси координат х и у:

(1)

(2)

Третье уравнение выражает равенство нулю алгебраической суммы моментов всех сил относительно произвольной точки тела. Для уменьшения числа неизвестных реакций связей в этом уравнении выбираем точку, через которую проходят линии действия двух неизвестных сил (точку А). При вычислении момента силы относительно точки А разложим силу на составляющие и воспользуемся теоремой Вариньона в алгебраической форме: . Получим

(3)

Решение системы уравнений начинаем с уравнения (3), так как оно содержит одну неизвестную :

кН.

Подставляем в уравнение (1):

.

Подставляем в уравнение (2):

Проверка. Для проверки можно составить уравнение моментов относительно любой другой точки (кроме А). Желательно выбрать точку, относительно которой имеют моменты все три неизвестные силы (например, точку Е).

Составим уравнение и подставим в него найденные реакции связей. Если задача решена верно, то сумма моментов всех сил должна быть близка к нулю (разница между суммой положительных чисел и модулем суммы отрицательных чисел не должна превышать 1% от этих величин).

Погрешность расчета составляет .

Ответ: Х_А = -8,5 кН, Y_A = -23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что составляющие реакции шарнира и направлены противоположно показанным на рис. C1.

В примерах выполнения последующих задач решение уравнений и проверка не приводятся, но это необходимо делать при выполнении каждой задачи контрольной работы.

Задача С2

 

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3 l, ВС = 2 l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (рис. С2.0-С2.9). Размеры 3 l и 2 l укажите на рисунке.

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6 кН×м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости хOу, сила – в плоскости, параллельной xOz, сила – в плоскости, параллельной yOz. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты. Укажите на своем рисунке численные значения всех углов.

Определить: реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l= 0,8 м.

Указания. Задача С2 – на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При составлении уравнений моментов относительно каждой из координатных осей удобно сделать дополнительный рисунок: вид на плоскость, перпендикулярную этой оси.

 

Рис. С2.0

Таблица С2

Сила
Номер условия	F1 = 4 кH	F2 = 6 кH	F3 = 8 кH	F4 = 10 кH
Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.	Точка прилож.	, град.
	D		-	-	E		-	-
	H		D		-	-	-	-
	-	-	E		-	-	D
	-	-	-	-	E		H
	E		-	-	H		-	-
	-	-	D		H		-	-
	-	-	H		-	-	D
	E		H		-	-	-	-
	-	-	-	-	D		E
	-	-	E		D		-	-

 

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Произвольная пространственная система сил».

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

1. Момент силы относительно оси, его вычисление. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? Объясните каждый случай, опираясь на правило вычисления.

2. Какая система сил называется пространственной (произвольной пространственной)?

3. Сформулируйте и запишите уравнения: условия равновесия пространственной системы сил в векторной и алгебраической (координатной) формах.

 

Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. C2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила , (параллельная оси у)и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

 

Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН ×м, F1 = 6 кН, F2 = 7,5 кН, а = 30°, AВ =1 м, ВС= 2 м, СЕ = 0,5 АВ, ВК = 0,5 ВС. Определить: реакции опор А, В и стержня DD'.

 

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют:

а) активные силы и пара сил, момент которой М;

б) реакции связей: реакцию сферического шарнира A разложим на три составляющие , цилиндрического шарнира (подшипника) B – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

Силы, приложенные к плите, образуют пространственную систему сил. Составляем уравнения ее равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Для определения момента силы относительно оси y раскладываем на составляющие и , параллельные осям х и z (), и применяем теорему Вариньона (относительно оси). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в уравнения (1)-(6) числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, найдем величины реакций связей.

В своей задаче систему уравнений (1)-(6) следует решить полностью и с пояснениями. Сделайте проверку, например, составив уравнение моментов относительно оси x ₁, проведенной параллельно оси x.

Ответ: Х_А = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = -7,5 кН, Z_B = -12,4 кН, N = 14,5 кН, Знаки указывают, что силы , и направлены противоположно показанным на рис. C2.

 

Вопросы для самоконтроля по статике

 

1. Предмет статики. Основные понятия статики (абсолютно твердое тело, сила, эквивалентные и уравновешенные системы сил, равнодействующая, внешние и внутренние силы). Аксиомы статики. Теорема об уравновешивании двух сходящихся сил третьей силой.

2. Несвободное твердое тело. Связи и реакции связей, виды связей.

3. Проекция силы на ось и на плоскость.

4. Система сходящихся сил. Геометрический и аналитический (координатный) способы нахождения равнодействующей. Условия равновесия системы сходящихся сил в векторной, графической и аналитической формах.

5. Алгебраический момент силы относительно точки. Момент силы относительно центра как вектор.

6. Момент силы относительно оси; случаи равенства нулю этого момента.

7. Пара сил. Алгебраический момент пары сил. Момент пары сил как вектор.

8. Условие эквивалентности пар сил (без доказательства). Свойства пары сил.

9. Теорема о параллельном переносе силы.

10. Приведение произвольной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент системы сил и их нахождение.

11. Частные случаи приведения системы сил к центру (равнодействующая, пара сил, динамический винт) (без доказательства).

12. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы относительно центра и оси (без доказательства).

13. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил в векторной и аналитической (координатной) формах.

14. Частные случаи уравнений равновесия (плоская система сил, система параллельных сил на плоскости и в пространстве).

 

КИНЕМАТИКА

 

В кинематике рассматривается движение точек, тел и механических систем без учета действующих сил (геометрия движения).

В отличие от статики, темы задач разные; поэтому краткие сведения из теории помещены в каждой задаче.

Задача К1

(тема: “Кинематика точки”)

Задача К1. Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0-К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: х= f₁ (t), у = f₂ (t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах (координатный способ задания движения точки). Зависимость х = f₁ (t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость у = f₂ (t) дана в табл. К1.

Найти уравнение траектории точки, а для момента времени t₁ = 1с определить координаты, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Выполнить чертеж, на котором построить траекторию точки, отметить положение точки при t₁ = 1с и в этом положении построить все найденные векторы.

 

Таблица К1

Номер условия
Рис. 0-2	Рис. 3-6	Рис. 7-9

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: cos 2a= 1 – 2sin²a = 2 cos²a- 1; sin 2a = 2sin a×cos a.

В задаче К1а чертеж следует выполнить на клетчатой или миллиметровой бумаге, указав масштабы длины, скорости и ускорения.

 

Рис. К1.0	Рис. К1.1	Рис. К1.2
Рис. К1.3	Рис. К1.4	Рис. К1.5
Рис. К1.6	Рис. К1.7	Рис. К1.8

 

 

Перед выполнением задания прочтите по учебнику тему: «Кинематика точки».

 

 

Вопросы, на которые следует обратить внимание и выучить:

 

 

1. Что означает задать движение точки?

2. Три основных способа задания движения точки (векторный, координатный, естественный).

3. Объясните, как в каждом из способов задать движение точки (уравнения движения);

4. Как определяются траектория точки, ее скорость и ускорение (величина и направление) в каждом способе?

5. Поясните, как строятся естественные оси (в какой точке находится начало координат, каково направление каждой оси);

6. Каков физический смысл векторов ;

7. Поясните, как определить характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

 

Пример К1. Уравнения движения точки в плоскости заданы координатным способом и имеют вид:

, (1)

, (2)

где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.

Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при (начальное положение) и при c; скорость точки; ускорение точки; касательное , нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории при c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

.

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и учитывая, что , найдем:

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения. Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более наглядными.

2. Находим положение точки при , подставляя это значение t в (1) и (2):

3. Нах

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: