Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Декартово произведение множеств




ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Определения

1. Множество A – совокупность элементов, объединённых каким-нибудь общим свойством.

2. xÎA – элемент x принадлежит множеству A.

3. xÏA – элемент x не принадлежит множеству A.

4. Æпустое множество.

5. B является подмножеством A, BÍA Û (xÎB Þ xÎA), т.е. каждый элемент xÎB обладает свойством xÎA.

6. "A ÆÍA, т.е. Æ является подмножеством любого множества.

7. Множества A и B равны, A=B Û (AÍB & BÍA).

8. B является строгим подмножеством A, BÌA Û (BÍA & B¹A).

9. B является собственным подмножеством A Û (BÍA & B¹A & B¹Æ).

10. Операции над множествами:

- объединение множеств A и B:

= { x: xÎA или xÎB}

- пересечение множеств A и B:

AÇB = { x: xÎA и xÎB}

- разность множеств A и B:

A \ B = { x: xÎA и xÏB }

- симметрическая разность множеств A и B:

ADB = (A \ B)È(B \ A)

- дополнение множества A относительно U, AÍU:

= U \ A

Следует обратить внимание:

1. При доказательстве включения AÍB использовать следующую схему доказательства:

«Пусть xÎA, тогда..., значит xÎB. Следовательно, AÍB.»

либо использовать элементарные соотношения типа:

(1) AÇB Í A, AÇB Í B

(2) A Í AÈB, B Í AÈB

(3) A \ B Í A

(4) A Í B и B Í C Þ A Í C

и т.д.

2. При доказательстве равенства двух множеств нужно проверять два включения (см. определение равенства).

3. Правильно пользоваться отрицанием условий:

xÏAÈB Û xÏA и xÏB

xÏAÇB Û xÏA или xÏB

xÏA \ B Û xÏA или xÎB

 

Примеры решения задач

1. Доказать равенство множеств: AÈB = AÈ(B \ A).

Решение.

Докажем, что AÈB Í AÈ(B \ A).

Пусть xÎAÈB, тогда xÎA или xÎВ.

Если xÎA, то по формуле (2) xÎAÈ(B \ A).

Если xÏA и xÎВ, то по определению разности множеств xÎ(B \ A). По формуле (2) xÎAÈ(B \ A).

Докажем, что AÈB Ê AÈ(B \ A).

Пусть xÎAÈ(B \ A), тогда xÎA или xÎ(B \ A).

Если xÎA, то по формуле (2) xÎAÈB.

Если xÎ(B \ A), то по определению разности множеств xÎB и xÏA. Так как xÎB, то по формуле (2) xÎAÈB.

 

2. Доказать: AÍBÇC Û AÍB и AÍC

Решение.

Докажем, что AÍBÇC Þ AÍB и AÍC.

Способ 1.

Чтобы доказать, что AÍB и AÍC, возьмем xÎA. Так как AÍBÇC, то из xÎA следует, что xÎB и xÎC. Значит, одновременно выполняются (xÎA и xÎB)и (xÎA и xÎC). Поэтому AÍB и AÍC.

Способ 2.

Учитывая соотношение (1) имеем: AÍBÇCÍB и AÍBÇCÍС. Отсюда по транзитивности получаем: AÍB и AÍC.

Докажем, что AÍBÇC Ü AÍB и AÍC.

Чтобы доказать, что AÍBÇC, возьмем xÎA. Так как AÍB и AÍC, то из xÎA следует, что xÎB и xÎC. По определению пересечения множеств получаем, что xÎ BÇC.

 

3. Существуют ли такие множества А, В и С, что AÇB ¹ Æ, AÇС = Æ, (AÇB) \ С = Æ?

Если существуют, то привести пример. Если не существуют, то доказать это.

Решение.

Докажем от противного, что таких множеств не существует.

Предположим, что существуют множества А, В и С, удовлетворяющие условию задачи.Так как AÇB ¹ Æ, то существует xÎAÇB, то есть xÎA и xÎB. Поскольку xÎA и по условию AÇС = Æ,то xÏС. Так как xÏС и xÎAÇB, то по определению разности множеств xÎ(AÇB) \ С. Значит, (AÇB) \ С ¹ Æ, чтопротиворечит условию задачи. Следовательно, таких множеств не существует.

4. Доказать равенство множеств А \ (А \ В) = АÇВ.

Решение.

xÎА \ (А \ В) Û

xÎА и xÏ А \ В Û

xÎА и (xÏА или xÎВ) Û

xÎА и xÎВ Û

xÎАÇВ.

 

Задачи для самостоятельного решения:

1. Доказать: AÈBÍС Û AÍС и BÍС.

2. AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC).

3. AÈ (BÇC) = (AÈ B)Ç(AÈ C).

4. Законы де Моргана для AÍU, BÍU:

(a) = .

(b) = .

 

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

 

Определения

1. Мощность множества B – это число его элементов, обозначается |B|.

2. Мощность множества всех подмножеств множества A равна: |P(A)| = 2|A|.

3. Декартово произведение множеств A и B: A´B = { (x, y): xÎA и yÎB}.

4. Мощность декартова произведения множеств A и B равна: |A´B| = |A|×|B|.

Пример 1.

Пусть A={1, 2, 3}, B={a, b}. Тогда декартовы произведения:

A´B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) },

B´A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }.

Видно, что A´B ¹ B´A.

Мощности: |A´B| = |B´A| = 3×2=6.

Пример 2.

Пусть A=[-1, 2], B=[1, 3] – отрезки прямых. Тогда декартово произведение A´B – это все точки (пары координат) прямоугольника:

Примеры решения задач

1. Доказать равенство множеств: (AÈB)´С=(A´C) È (B´C)

Решение.

Докажем, что (AÈB)´СÍ(A´C) È (B´C).

Пусть zÎ(AÈB)´С, тогда z=(x, y), где xÎAÈB и yÎС. Значит, xÎA или xÎВ. То есть xÎA и yÎС или xÎВ и yÎС. Поэтому zÎA´C или zÎB´C. По определению объединения zÎ(A´C) È (B´C).

Докажем, что (AÈB)´С Ê (A´C) È (B´C).

Пусть zÎ(A´C)È(B´C), тогда zÎA´C или zÎB´C. Так как z=(x, y), то xÎA, yÎС или xÎB, yÎС. Значит, xÎA или xÎВ при yÎС. Поэтому xÎAÈB и yÎС. По определению декартова произведения zÎ(AÈB)´С.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...