 |
Лекция 3. Тема: «Модель случайных колебаний и гипотеза фрактального рынка»
|
|
|
|
Введение во фрактальные временные ряды
Западная культура долгое время была одержима гладким и симметричным. Фрактальная геометрия – геометрия Демиурга. В отличие от евклидовой геометрии она основывается на грубости и асимметрии. «Самоподобия» является определяющим свойством фракталов. Большинство естественных структур, особенно живые существа, обладают этим свойством. Вторая проблема, возникающая при применении евклидовой геометрии к нашему миру, – это проблема размерности. …восприятие размерности может изменяться в зависимости от нашего расстояния от объекта. Мы увидим разницу между гладкостью евклидового мира и грубостью нашего мира, что ограничивает пригодность евклидовой геометрии как метода описания.
Конфликт между симметрией евклидовой геометрии и асимметрией реального мира может быть далее продлен до нашего понятия времени. Традиционно, события рассматриваются либо как случайные, либо как детерминированные. Во фрактальном времени случайность и детерминизм, хаос и порядок сосуществуют. Кажется, что и великие события зависят от случая. Однако, подобные теории развивают параллельно несколько ученых. Это подразумевает, что этим открытиям было предназначено случиться. Этого требовала история.
Время не имело значения в ньютоновой механике; теоретически, время могло быть повернуто в обратную сторону, потому что уравнения Ньютона работали одинаково хорошо независимо от того, шло ли время вперед или назад. В тоже время такой процесс, как смешение жидкостей – процесс зависящий от времени и необратим. В термодинамике стрелка времени указывает только в будущее. Первый удар был нанесен по представлению о вселенной как о часовом механизме.
|
|
|
Второй удар был нанесен с появлением квантовой механики. Осознание того, что молекулярная структура вселенной может быть описана только состояниями вероятности, еще более подорвала детерминистическое представление. Но все еще оставалось сомнение. Вселенная детерминирована или случайна? Постепенно стало очевидным, что самые естественные системы характеризуются локальной случайностью и глобальным детерминизмом. Эти противоположные состояния должны сосуществовать. Детерминизм даст нам закон природы. Случайность привносит новшество и разнообразие. Здоровая, развивающаяся система – это та, которая не только может пережить случайные удары, но также может поглотить такие удары, чтобы улучшить всю систему, когда это станет целесообразно.
Мы подошли к третьему удару по детерминизму Ньютона: наука хаоса и фракталов, где случайность и необходимость сосуществуют. В этих системах энтропия высока, но никогда не достигает максимального состояния беспорядка из-за глобальною детерминизма. Хаотические системы экспортируют свою энтропию или «рассеивают» ее, аналогично тому, как механические устройства рассеивают часть своей энергии как трение.
Игра хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную структуру, которую мы назвали фракталом.
Фактически не существует точного определения термина «фрактал». Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии, тоже не сформулировал точного определения. Фракталы имеют определенные особенности, которые измеримы, и свойства, которые являются желательными для целей моделирования. Первое свойство – самоподобие. Оно означает, что части в некотором роде связаны с целым. Это свойство самоподобия делает фрактал масштабно-инвариантным. Фрактальные зависимости имеют вид прямой на графиках, где обе оси имеют логарифмический масштаб. Модели, описываемые таким образом должны использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону, является вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, такую как легкое, либо временной ряд.
|
|
|
Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Согласно ожиданиям прямая линия должна иметь, фрактальную размерность 1, равную ее евклидовой размерности (фрактальная размерность плоскости – 2). Фрактальная размерность случайною временного ряда составляет 1, 5. …фрактальная размерность может быть решена как наклон графика в логарифмическом масштабе по обеим осям.
Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1, 5). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1, 5 < d < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1, 5, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения.
Глава 2. Несостоятельность гауссовой гипотезы
Фрактальная природа рынка акций выражается в том, что
а) кривые распределения прибылей существенно отличаются от гауссового колокола (рис. 1).
б) кривые 1-, 5-, 10-, 20-, 30- и 90-дневных прибылей выглядят одинаково: масштабно-инвариантны (рис. 2); видно, что для всех кривых характерен более высокий пик (вероятность средних значений выше, чем по нормальному распределению), провал чуть дальше от среднего значения (в районе 1–2 сигм), толстые хвосты – высокая вероятность экстремально больших отклонений (более 3 сигм).
Рис. 1. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, частотное распределение прибылей: 1888-1991 гг.; по оси абсцисс – число стандартных отклонений, по оси ординат – частота
|
|
|
Рис. 2. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, N-дневные прибыли за вычетом нормальной частоты; N = 1 (a), 10 (б), 20 (в), 30 (г)
Что это означает? Во-первых, риск наступления большого отклонения (черного лебедя) намного более высок, чем подразумевает нормальное распределение. Нормальное распределение говорит, что вероятность наступления события более трех стандартных отклонений составляет 0, 5% или 5 на 1000. Рисунки же показывает, что фактическая вероятность составляет 2, 4% или 24 на 1000. Во-вторых, однодневные трейдеры сталкиваются с тем же количеством событий шесть-сигма в своих временных рамках, с каким сталкиваются 90-дневные инвесторы в своих временных рамках.
Временная структура волатильности. Как правило, мы используем стандартное отклонение для измерения волатильности и предполагаем, что она подвергается масштабированию согласно квадратному корню из времени. Например, мы «пересчитываем на год» стандартное отклонение ежемесячных прибылей посредством умножения его на квадратный корень из 12. Эта практика происходит из наблюдения Эйнштейна, что расстояние, которое проходит частица в броуновском движении, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, затраченному на ее измерение.
Квадратный корень из времени показан сплошной 45-градусной линией на рис. 3. Волатильность сначала увеличивается более быстрым темпом, чем квадратный корень из времени, а при N > 1000 дней наклон сильно падает к 0, 25. Если мы думаем о риске как о стандартном отклонении, инвесторы несут больше риска, чем подразумевается стандартным отклонением для инвестиционных горизонтов менее четырех лет. Однако инвесторы несут все меньше риска на инвестиционных горизонтах более четырех лет. Как всегда было известно, долгосрочные инвесторы несут меньше риска, чем краткосрочные инвесторы.
С другой стороны, отношение прибыли к риску или «коэффициент Шарпа», названный по имени его создателя, Нобелевского лауреата Уильяма Шарпа, показывает, сколько прибыли получено на единицу риска, или стандартного отклонения. В течение периодов меньше 1000 дней или четырех лет коэффициент Шарпа постоянно уменьшается; на отметке в 1200 дней он резко увеличивается. Это означает, что долгосрочные инвесторы вознаграждены больше, на единицу риска, чем краткосрочные инвесторы.
|
|
|
Аналогично ведут себя и облигации. А вот валюта! ... перед долгосрочными держателями валюты стоят постоянно возрастающие уровни риска по мере расширения их инвестиционного горизонта. В отличие от акций и облигаций валюта не предлагает никакого инвестиционного стимула для стратегии покупки и владения в течение длительного времени. В краткосрочной перспективе спекулянты на акциях, облигациях и на курсах валют сталкиваются со схожими рисками, но в долгосрочной перспективе риск инвесторов, вкладывающих капитал в акции и облигации, снижен.
Появление границ для акций и облигаций, но не для валюты, сначала озадачивает. Почему валюта является ценной бумагой, отличной от акций и облигаций? Этот вопрос уже содержит ответ. Валюта названа «ценной бумагой». Валюта – объект, которым торгуют, но она не является ценной бумагой. Она не имеет инвестиционной стоимости. Прибыль от валюты можно получить, только спекулируя на ее стоимости против стоимости другой валюты. Валюта, таким образом, эквивалентна чисто спекулятивным средствам, которые обычно приравниваются к акциям и облигациям. Акции и облигации не такие. Они имеют инвестиционную стоимость. Облигации приносят проценты, а стоимость акции привязана к росту ее дохода вследствие экономической деятельности. Совокупный фондовый рынок привязан к совокупной экономике. Валюта же не привязана к экономическому циклу. В 1950-х и 1960-х годах у нас была развивающаяся экономика и сильный доллар. В 1980-х годах у нас была развивающаяся экономика и падающий доллар. Валюта не имеет «фундаментальной» стоимости, которая обязательно связана с экономической деятельностью, хотя она может быть привязана к экономическим переменным, таким как процентные ставки.
Гипотеза фрактального рынка
В случае ЕМН, теория была развита, чтобы оправдать использование статистических инструментов, которые требуют независимости или, в лучшем случае, очень краткосрочной памяти. Теория часто вступала в противоречие с наблюдаемым поведением. Альтернативы нормального распределения, например, устойчивое распределение Парето, были отклонены, даже несмотря на то, что они соответствуют наблюдаемым стоимостям без модификаций. Почему? Стандартный статистический анализ не мог быть применен с использованием таких распределений.
|
|
|
Устойчивые рынки против эффективных рынков. Нью-Йоркская фондовая биржа была организована группой трейдеров, которые собирались под известным платановым деревом в Нью-Йорке. Они имели одну общую основную потребность: ликвидность. Ликвидность – не то же самое, что и объем торговли. Самые крупные крахи произошли тогда, когда имела место низкая ликвидность наряду с высоким объемом торговли. По-другому низкую ликвидность можно было бы назвать несбалансированным объемом торговли. ЕМН ничего не говорит о ликвидности. Она говорит, что цены всегда справедливы, независимо от того, существует ликвидность или нет, или, альтернативно, что всегда существует достаточно ликвидности. Таким образом, ЕMH не может объяснить крахи и панические бегства; при исчезновении ликвидности получение «справедливой» цены не может быть таким же важным, как и завершение торговли по любой стоимости. Устойчивый рынок – не то же самое, что и «эффективный» рынок, как определено ЕМН. Устойчивый рынок – ликвидный рынок.
Источники ликвидности. Если бы вся информация имела одинаковое воздействие на всех инвесторов, не было бы никакой ликвидности. После получения информации все инвесторы стали бы осуществлять одинаковые операции, пытаясь получить одинаковую цену. Тем не менее, инвесторы не однородны. Возьмем типичного дэйтрейдера, чей инвестиционный горизонт составляет пять минут и в настоящее время является долгосрочным па рынке. Среднее пятиминутное изменение цен в 1992 г. составляло 0, 000284 процента со стандартным отклонением в 0, 05976 процента. Если, по техническим причинам, для пятиминутного горизонта происходило падение в шесть стандартных отклонений или 0, 359 процента, наш дэйтрейдер мог быть уничтожен, если бы падение продолжилось. Однако институциональный трейдер – пенсионный фонд, например – с недельным горизонтом торговли, вероятно, счел бы падение возможностью покупки, потому что недельные прибыли за прошедшие десять лет составили в среднем 0, 22 процента со стандартным отклонением в 2, 37 процента. Кроме того, техническое падение не изменило перспективу недельного трейдера, который смотрит или на более долговременную техническую, или на фундаментальную информацию. Таким образом, событие 6-сигма для однодневного трейдера – это событие 0, 15-сигма для недельного трейдера, т. е. оно не представляет для него большой важности. Недельный трейдер приходит, покупает и создает ликвидность. Эта ликвидность, в свою очередь, стабилизирует рынок.
…источник ликвидности – это инвесторы с различными инвестиционными горизонтами, различными информационными множествами и, следовательно, различными представлениями о «справедливой цене».
Гипотеза фрактального рынка. Рынки существуют для того, чтобы обеспечить стабильную, ликвидную окружающую среду для торговли. Инвесторы хотят получить хорошую цену, но она не обязательно будет «справедливой» ценой в экономическом смысле. …инвесторы должны иметь общие уровни риска (с учетом масштаба инвестиционного горизонта), и общий риск объясняет, почему частотное распределение прибыли выглядит одинаково на различных инвестиционных горизонтах. Мы называем такое предположение гипотезой фрактального рынка вследствие такой самоподобной статистической структуры. При нарушении фрактальной структуры рынки становятся нестабильными. Нарушение происходит тогда, когда инвесторы с длинными инвестиционными горизонтами или прекращают участвовать на рынке, или сами становятся краткосрочными инвесторами.
Пока участвуют инвесторы с различными инвестиционными горизонтами, паника на одном горизонте может быть поглощена другими инвестиционными горизонтами в качестве возможности покупки (или продажи). Тем не менее, если весь рынок имеет один и тот же инвестиционный горизонт, то он становится нестабильным. Нехватка ликвидности превращается в панику.
В гауссовой окружающей среде большое изменение является суммой многочисленных небольших изменений. Однако во время паники и панических бегств рынок часто перескакивает через цены. Разрывы вызывают большие изменения, и в частотном распределении прибылей появляются жирные хвосты. Эти разрывы, в свою очередь, являются результатом недостатка ликвидности, вызванного появлением однородного инвестиционного горизонта для участников рынка.
|
|
|
