Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.
МАТЕМАТИКА
Часть третья
Учебно-методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников второго курса высшего профессионального образования
Краснодар УДК
Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Сычева В.Е.
Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей 140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2006. – 25 с.
В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т. канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.
© КубГТУ, 2006 Содержание
Введение ……………………………………………………………………………….….4 1. Инструкция по работе с учебно-методическими указаниями………………….……4 2. Программа дисциплины………………………………………………………….…….5 3. Контрольные работы…………………………………………………………………...6 4. Задания на контрольную работу……………………...……………………………...17 5. Содержание и оформление контрольных работ…………………………………….23 6. Темы практических занятий………………………………………………………….24 7. Вопрос подготовки к экзамену (зачету)………….………………………………….24 8. Список рекомендуемой литературы…………………………………………………25
Введение Инженер должен в области математики иметь представление: - о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений; - о математическом моделировании; - об информации, методах ее хранения, разработки и передачи; знать и уметь использовать: - основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики; - математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике; - вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели; иметь опыт: - употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов; - исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов: - использования основных приемов обработки экспериментальных данных; - аналитического и численного решения алгебраических уравнений; - исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений; - аналитического и численного решения основных уравнений математической физики; - программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения; Цель курса «Математика»: - дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин; - привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления; - овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности; - выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.
В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы. Пример. Литература: [3, гл.13 c. 3-9], [4, c. 143-162], где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы. Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании. Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 310,320,330 и так далее. В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки. Программа дисциплины. Тема 6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторный анализ. Двойной интеграл. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Криволинейный интеграл. Вычисление криволинейного интеграла. Поверхностный интеграл. Вычисление поверхностного интеграла. Формула Стокса. Формула Остроградского. Скалярное и векторное поля. Задача о потоке векторного поля.
Литература: [4 гл. 13, с. 307-368)]
Вопросы для самоконтроля. 1. Вычисление двойного интеграла. 2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. 3. Вычисление тройного интеграла. 4. Вычисление площадей с помощью с помощью двойных интегралов. 5. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. 6. Вычисление криволинейного интеграла. 7. Вычисление поверхностного интеграла.
Тема 7. Ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций, интегралов, решения дифференциальных уравнений. Ряды Фурье.
Литература: [4, гл. 14 с. 379-416]. Вопросы для самоконтроля. 1. Исследование сходимости числового ряда. 2. Исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда. 3. Нахождение интервала сходимости степенного ряда. 4. Приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов. 5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов. 6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 7. Разложение функций в ряды Фурье. Контрольные работы. Программой дисциплины «Математика» для студентов II курса предусмотрено выполнение контрольных работ № 4,5. 3.1. При выполнении контрольной работы № 4 необходимо изучить следующие вопросы: двойной интеграл, вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов, замена переменных в двойном интеграле, тройной интеграл, вычисление объемов с помощью тройных интегралов, криволинейный интеграл, вычисление криволинейного интеграла, вычисление поверхностного интеграла, формула Стокса, Остроградского; скалярное и векторное поля, задача о потоке векторного поля. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.
К заданиям 331-340. Пример. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями
Решение. Построим область D. График функции y=-x2 +1 представляет собой параболу с вершиной в точке (0;1), симметричную относительно оси OY; x=0 – прямая, совпадающая с осью OY; y=0 - прямая, совпадающая с осью OX
Для вычисления двойного интеграла воспользуемся формулой
Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=0, х=1, снизу y=0 и сверху y=-x2+1
К заданиям 341-350. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнениями в декартовых координатах (а>0) Решение: Преобразуем уравнение кривой к полярным координатам Положим В результате получим
Следовательно, Ответ: 4 К заданиям 351-360. Пример.Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями
Решение.
Наше тело представляет собой «параболический башмачок», который вырезают цилиндрические поверхности
Ответ:
К заданиям 361-370. Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
Решение. L – дуга окружности x=cost y=sint, R=1. Изобразим на чертеже дугу окружности по Так как кривая задана в параметрическом виде x=x(t) y=y(t) (
Найдем
Тогда Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл Решение.Составим уравнение прямых АВ, ВС, СА и изобразим контур интегрирования на чертеже.
АВ: ВС: СA:
Следовательно,
Получаем, Ответ: 3,5
К заданиям 371-380. Пример. Даны векторное поле Пусть
Требуется вычислить: 1) поток векторного поля 2) циркуляцию векторного поля 3) поток векторного поля
Решение: 1) Поток векторного поля П=
Для данного векторного поля
Ответ: 2) циркуляцию векторного поля
Найдем ротор данного векторного поля.
+ Следовательно, Ответ: 14.
3) Для вычисления потока векторного поля Согласно определению, имеем
Ответ: К заданиям 381-390. Пример. Проверить является ли векторное поле потенциальным и соленоидальным. В случае потенциальности поля Решение. Векторное поле
Следовательно, данное векторное поле является потенциальным. Потенциал u=u(x,y) вычислим по формуле то есть, Векторное поле Вычислим div Согласно определению, имеем Ответ: поле является потенциальным, поле не является соленоидальным.
3.2. При выполнении контрольной работы № 5 необходимо изучить следующие вопросы: исследование сходимости числового ряда, исследование на абсолютную и условную сходимость знакочередующегося ряда, нахождение интервала сходимости степенного ряда, приближенные вычисления значений функции с помощью степенных рядов, применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов, интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов, разложение функций в ряды Фурье. Ниже приведены примеры выполнения расчетов. К заданиям 391-400. Пример. Исследовать сходимость числового ряда где а) Решение. а) Для исследования сходимости числового ряда
Ответ: ряд расходится. б) Для исследования сходимости числового ряда Интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд. Ответ: ряд сходится. К заданиям 401-410. Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда Решение:
Если
К заданиям 411-420. Пример. Вычислить значение функции Решение. Разложение функции
Так как знакопеременный ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что Ответ: 0,073.
К заданиям 421-430. Пример. Вычислить определенный интеграл Решение. Ответ: К заданиям 431-440. Пример. Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения Решение. В тех случаях, когда для уравнения Из уравнения и начального условия находим
Искомое решение имеет вид Ответ: К заданиям 441-450. Пример. Разложите функцию Решение. Эта функция – кусочно - монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Определим ее коэффициенты Фурье:
Таким образом, получаем ряд
Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.
Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|