 |
Простые и составные числа.
|
|
|
|
Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.
Например, число 17 – простое, т.к. делится на 1 и само на себя.
Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя, называются составными.
Например, число 121 – составное, т.к. имеет более двух делителей: 1; 11; 121. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.
Делимость чисел обладает свойствами:
1. Если а и р - натуральные числа, причем р -простое, то либо а делится на р, либо а и р взаимно просты.
Например 15и 11. 15и5.
2.Если М- общее кратное а и b, а т - их наименьшее общее кратное, то М делится на т.
Например, 3 и 5. Их кратное 90, наименьшее общее кратное 15, тогда 90 делится на 15.
3. Рефлексивность: если а делится на b, то и b делится на а.
Это свойство очевидно, как и то, что любое равенство можно читать как справа налево, так и слева направо
4. Транзитивность: если а делится на b и b делится на с, то и а делится на с.
Разъясним транзитивность нам конкретном примере: 36:12, 12:4, тогда и 36:4Кроме того, нетрудно заметить, что делимость чисел практически никак не связана с их величиной: существуют маленькие числа, которые делятся на сравнительно большое количество чисел. Например, 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. И число 43 имеет только два делителя: 1, 43.
Признаки делимости на 2
Необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.
Например:
В числе 29654 последняя цифра 4 – она четная, значит, число делится на 2.
Признаки делимости на 3
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы
сумма его цифр делилась на 3.
Например:
513 – 5+1+3=9, значит, число делится на 3.
Признаки делимости на 4
|
|
|
Чтобы число делилось на 4 надо
проверить делится ли на 4 число из двух последних цифр. Например:
1836 – 36:4, значит, 1836 делится на 4 без остатка.
Кроме этого на 4 делятся числа, запись которых оканчивается двумя нулями.
Например: 5500
Признаки делимости на 5
Число делится на 5 в том, и только в том случае если оно оканчивается на
5 или на 0.
Например:
245 делится на пять.
Признаки делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
1) Число сотен умножить на 2,
2) Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Например:
138 – число сотен 1*2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
1. Число, стоящее до десятков умножить на два,
2. К результату прибавить оставшееся число.
3. Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет. Например:
4690 - 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
Признаки делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр
делится на 8.
Например:
6709112 – 112 делится на 8, значит, 6709112 кратно 8.
Признаки делимости на 9
Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно,
чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Например:
598455 – 5+9+8+4+5+5=36:9=4
Признаки делимости на 10
Число делится на 10 в том, и только в том случае, если число оканчивается на 0.
Например:
3331289 0 – делится на 10.
Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Испытаем число 100397.
Нумерация идет слева направо.
1+0+9=10
0+3+7=10
10-10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:
|
|
|
Испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Например, испытаем число 15235.
Разбиваем на группы
и складываем их:
1+52+35=88.
88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.
Признаки делимости на 12
Проверьте делимость интересующего нас числа на 3 и 4. Число делится на 12 в том, и только в том случае если оно одновременно делится на 3 и 4. Например: 12653400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.
Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Например:
858 делится на 13, так как 
делится на 13.
Признаки делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Пример:
Число 45612 делится на 2 и на 7, значит, оно делится и на 14.
Признаки делимости на 15
Для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.
Например:
114679 5 – 1+1+4+6+7+9+5=33, значит, число кратно 3.
Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. Например; требуется определить, делится ли на 19 число 1026.
1 0 2 6
1 2
1 1 4
8
1 9
Числа кратные 19 всегда делятся на 19.
19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228..
Применим последовательно признак делимости. Число десятков в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Признаки делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.Пример:
Число 34650 делится на 25, т.к. 50 делится на 25.
Признаки делимости на 50
Чтобы число делилось на 50, надо, чтобы на конце записи числа две последние цифры делились бы на 25 и представляли бы четное число. А этому условию удовлетворяют только числа 50 и 100, но 100- трехзначное число, значит, запись числа должна оканчиваться на 00 или 50.
|
|
|
Например:
69572 00, 679068 50.
Заключение
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.
Считаю, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал «Признаки делимости чисел» можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов. Учителям - с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел
Для решения этих проблем ставлю следующие задачи:
· более глубокое изучение литературы по теме «признаки делимости чисел
· подбор задач, решаемых с помощью признаков делимости.
Я изложила эту работу доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять мой реферат и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.
Библиографический список
· И. Я. Депман «История арифметики» Москва 1965 Издательство «Просвещение»
· Г. И. Глейзер «История математики в школе 7 – 8 классы» Москва 1982 «Просвещение»
|
|
|
· «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва 2004 «Мир книги»
· «Математика» Москва 1999 «Первое сентября»
· «Математика» Москва 2000 «Первое сентября»
· «Математика» Москва 2002 «Первое сентября»
· «Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс». – М.: Просвещение, 1979.
· «Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра»/ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом – 5-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.
· «Дополнительные главы по курсу математики. Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов»/ К. П. Сикорский – издание 2-е, исправленное и дополнительное – М.: «Просвещение», 1974.
· Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
· Я.И. Перельман. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с.
· Воробьев КН., Признаки делимости, издательство
«Наука», 1974.
· Кордемский Б. А., Математическая смекалка, Ленинград,
издательство технико-теоретической литературы, 1956.
· Перельман Я.И., Занимательная алгебра, Москва,
издательство «Наука», 1988.
· 1.И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г. стр.97.
· 2. М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней школе» М. Просвещение. 1965 г. стр.37.
· Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г. стр.40.
· Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006 год. Пельман Я. И.
· Внеклассная работа по математике 5-11 классы М.: Айрис – пресс 2007 год Фарков А. В.
· Оригинальные головоломки с числами. М.: Эксмо, 2007. Кен Рассел, Филипп Картер.
· Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
Приложения
Задача № 1.
Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Задача № 2.
Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:
А) число которое делиться на 10;
Б) четное число;
В) число, кратное 5;
Г) нечетное число.
Задача № 3
Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.
Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? (Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7).
Ответ: 1 раз в 420 дней.
Задача № 4
|
|
|
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.
Напишите наибольшее из таких чисел.
Напишите наименьшее из таких чисел.
(Нужно знать признак делимости на 11).
Ответ: 987652413
102347586
Задача № 5
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527.
Задача № 6
Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Ответ: 8910.
Задача № 7
Какой цифрой оканчивается десятичная запись числа 333³³³?
Ответ: цифрой 3.
Задача № 8.
Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.
Ответ: опровергающий пример 9999999918.
Задача № 9.
Числа Р; Р² + 4; Р² + 6 простые. Найдите Р.
Ответ: Р=5.
|
|
|
12 |
